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수학이야기94

수학사에 남을 '15번째 오각형' 발견 바닥면에 겹치거나 빈 틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다. 수학사의 한 쪽을 장식할 '사건'으로 평가받고 있는 이 발견의 주인공들은 미국 워싱턴 대학의 수학자들로, 학부생이 만든 컴퓨터 프로그램을 이용해 이 큰 발견을 이끌어낸 것이다. 이 발견이 있기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개가 발견된 상태였다. 마지막 종류는 1985년에야 발견되었는데, 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다. 이번에 15번째로 발견된 오각형은 부등변오각형으로, 5개의 변 중 두 개가 같을 뿐이다. 이 발견은 물리학에서 새로운 소립자를 발견한 것과 비슷한 것으로 수학계에 받아들여지고 있다고 연구진은 말한다. ▲ 바닥면에 겹치거나 빈 틈.. 2015.08.19
비에타의 방법 프랑스 앙리 4세의 궁정 고문관이며 수학자인 프랑수아 비에타(1540~1603)는 대수적 표기법을 개선하는 결정적인 단계를 밟았다. 유클리드 시대 이래로, 문자는 방정식에 들어갈 양을 나타내는 데 사용되었으나 찾아야 할 '미지(未知)의 양'과 알고 있다고 가정된 '기지(旣知)의 양'을 구별하는 방법은 없었다. 비에타는 알파벳의 대문자 중 모음은 현재 변수라 부르는 '미지의 양'을 나타내고, 자음은 주어진 것으로 가정된 '기지의 양'을 나타내자고 제안하였다. 간단하지만, 이런 관례는 계수가 지정된 수인 특정한 예를 다루어야만 했던 대수학을 해방시키는 엄청난 결과를 초래했다. 비에타의 문자 표기법이 도입되기 전에는 특정한 방정식에만 관심을 두어야 했다. 즉, 또는 과 같은 개별적인 방정식에 대한 그 자체의 .. 2015.06.30
연분수를 이용한 증명 연분수란, 주어진 수를 '정수부분과 소수부분으로 나눈 뒤, 소수부분이이 아닐 경우 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나누는 과정'을 반복하여 얻는 식을 말한다.예를 들어, 유리수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나타내자. 그럼이고 소수부분의 역수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분이이므로를 연분수로 나타내면이 된다. 이와 같이 유리수를 연분수로 나타내는 과정에 등장하는 소수부분의 분모와 분자가 위의 과정을 거치면서 작아지기 때문에 어떤 유리수든지 위의 과정을 유한 번 적용하면 소수부분이 이 나오게 된다.하지만 가령를 연분수로 나타내어 보면이므로의 정수부분은이고 소수부분은이다. 소수부분 의 역수을 다시 정수부분과 소수부분으로 나누면이므.. 2015.06.30
결혼 공식 미국의 수학자 Garth Sundem은 특이한 공식을 개발하는 것으로 유명한 사람이다. 다음은 그가 개발한 여러 개의 공식들 중 결혼에 관한 두 가지 공식이다. (1) 나의 결혼이 지속될 확률은 얼마나 될까? A : 결혼하려고 하는 해의 그녀의 나이 E : 고등학교 졸업 후에 현재까지 몇 년 동안 교육을 받았는가?(두 사람의 것을 합해야 함) K : 이 결혼으로 생각하고 있는 아이들의 수 R : 커플의 신앙이 얼마나 깊은가.(1에서 10까지 점수를 매길 수 있으며, 10은 교황이 기준) D : 커플의 부모가 몇 번이나 이혼을 했는지(역시 두 사람의 것을 합해야 함) P : 이 결혼 이전에 결혼을 했던 횟수(두 사람의 합) T : 당신이 확률을 계산하고 있는 연도 는 Happy ever after로, 동화.. 2015.05.13
4색 문제(four color problem) 1852년 10월, 영국 런던에 있는 유니버시티 대학(University College)의 대학원생 프렌시스 구드리에(Francis Guthrie)는 영국 지도를 색칠해 나가다가 '인접한 구획들이 같은 색으로 칠해지는 경우가 없게 하려면 최소한 몇 가지의 색이 필요할까?'라는 의문을 갖게 되었다. 결국 영국의 지도에 있는 지역들을 구별하여 색칠하는 데는 4가지 색이면 충분하다는 사실을 알게 되었다. 그는 임의의 구획으로 나누어져 있는 지도를 칠할 때 4가지 색이면 대부분 되는 것 같았지만 확신을 가질 수는 없었다.다섯 가지 이상의 색을 사용해야 조건에 맞게 그릴 수 있는 지도가 존재할까, 아니면 네 가지 색이면 어떤 지도에서도 인접한 구획들이 다른 색으로 칠해질 수 있음을 증명할 수 있을까? 구드리에는 .. 2015.05.13
공평한 분배의 방법 1. 두 사람이 케이크를 공평하게 나누는 방법 A, B 두 사람이 케이크 하나를 공평하게 나누어야 하는데, 조금이라도 적게 받은 사람은 불평을 할 것이다. 모두 만족스럽게 케이크를 나누는 방법을 생각해보자. 케이크를 똑같이 나누는 여러 가지 방법이 있지만 다음과 같이 나누면 어느 쪽도 불만이 있을 수 없다. ① A가 케이크를 두 조각으로 나눈다. ② 나눈 두 조각 중 하나를 B가 가진다. ③ 남은 한 조각을 A가 갖는다. 2. 세 사람이 케이크를 공평하게 나누는 방법 이제 A, B, C 세 사람이 케이크 하나를 공평하게 나누어야 한다. 한 사람이 불공평하게 나누면 두 사람이 불만이 생기기 때문에 두 사람이 케이크를 나누는 것보다 더 어렵게 보인다. 다음과 같이 모두 불만이 없이 공평하게 분배할 수 있다... 2015.05.13
수를 세는 일상 단위 현재는 길이나 면적, 무게를 나타낼 때 국제단위계라고도 하는 SI 단위를 사용하는데 길이를 나타내는 m, 시간을 나타내는 s, 무게를 나타내는 kg 등이 있다. 그렇다면 국제단위계 말고도 우리 주변에서 사용하는 단위로는 무엇이 있을까? 많이 알려진 것으로는 건물의 면적을 나타내는 평, 한 묶음의 단위로 사용되는 다스 등이 있다. 그 외에도 많은 일상 단위가 있는데 몇 가지 살펴보도록 한다. · 자(척), 장, 치(촌), 푼 : 1척 = 1/10장 = 10촌 = 100푼 = 30.3cm · 평 : 가로 세로 6자의 넓이. 1평 = 3.3058㎡ · 단보, 정보 : 땅 넓이의 단위. 1정보 = 10단보 = 3000평 · 마지기 : 논밭 넓이의 단위로 한 마지기는 볍씨 한 말의 모 또는 씨앗을 심을 만한 넓이.. 2015.05.13
요절한 천재수학자 아벨과 갈루아 이차방정식과 삼·사차방정식의 일반적인 해법(근의 공식과 같이 계수들의 사칙연산과 거듭제곱 및 제곱근의 연산만으로 해를 구하는 것)이 밝혀진 후 많은 수학자들이 꼴의 오차방정식의 일반적인 해법을 찾으려고 노력했다. 그러나 16세기 말 사차방정식의 해법을 발견한 이래 200여 년이 더 지난 19세기 초까지도 해법을 찾지 못했다. 그러나 1824년, 22세의 젊은 수학자 아벨(Abel, N. H. ; 1802~1829)이 '오차 이상의 방정식의 일반적인 해법은 존재하지 않는다.'는 사실을 증명했다. 그는 200년간 풀리지 않은 어려운 문제를 증명했으나 그 당시 수학계의 1인자인 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)조차도 이 논문을 읽어보지도 않고 쓰레기통에 버렸다고 한다. 그는 계속된 가난과 .. 2015.04.27
기약다항식 판정법 자연수를 소인수분해하면 그 자연수에 대하여 보다 많은 것을 알게 된다. 자연수의 소인수분해의 중요성은 일찍부터 알려져 있었으며 여러 가지 계산에 소인수분해를 이용하였다. 유클리드(Euclid ; ? B.C. 325~? B.C. 265)의 원론(Elements)에는 '1보다 큰 자연수는 오직 한 가지 방법에 의한 소수의 곱으로 나타내어진다.'는 정리가 소개되어 있다. 그러나 자연수를 더 작은 자연수로 분해하여 보겠다는 생각이 다항식에 적용되기까지는 2000여 년의 시간이 걸렸다. 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)는 '일차 이상의 다항식은 기약다항식의 곱으로 유일하게 인수분해된다.'는 것을 증명하였는데, 그 이후로 자연수에서 소인수분해가 했던 역할이 다항식의 인수분해에도 그.. 2015.04.27
황도좌표에 따른 절기(節氣) 수학에서 우리는 점의 위치를 나타내기 위하여 직교좌표계를 이용한다. 수평선과 수직선, 즉 x축과 y축은 평면을 사분면(四分面)으로 나눈다. 또, 어떤 점의 위치를 나타내기 위하여 두 실수의 순서쌍 (x, y)로 좌표를 나타낸다. 한편, 평면상의 점을 극좌표계로도 나타낼 수 있다. 극좌표는 원점으로부터의 거리와 원점에서 그 점을 지나는 반직선이 축의 양의 방향과 이루는 각을 이용하여 나타낸다. 천구에서 극좌표를 응용한 예가 황도좌표이다. 황도좌표는 주로 달과 행성 등 태양계 천체의 궤도와 위치 표시에 쓰이며, 경도·위도는 각각 황경(黃經)·황위(黃緯)라고 한다. 황경은 춘분점을 0°로 하여 동쪽으로 돌며 360°까지 표시된다. 즉, 하지 때의 태양 황경은 90°, 추분 때는 180°, 동지 때는 270°가.. 2014.12.29
벤포드의 법칙(Benford's law) 대부분의 사람들은 우리 주변에 널린 다양한 수치 자료들을 모아서 맨 앞자리의 숫자를 조사하면 1, 2, 3, …, 9가 당연히 11.1%의 비슷한 확률로 나타날 것이라고 생각할 것이다. 그러나 경제 지표들에 나타나는 숫자, 주소에 있는 숫자, 어떤 회사의 회계 장부에 있는 숫자 등과 같은 다양한 숫자들을 수집하여 그 수들의 맨 앞자리의 숫자들을 조사해 보면 첫 자리의 수가 1인 것이 무려 30%로 가장 빈번하게 나타나고, 2에서 9로 갈수록 그 빈도는 현저히 낮아진다. 이러한 숫자들의 분포를 공식화한 것이 '벤포드의 법칙(Benford's law)'이다. 벤포드의 법칙은 다양한 데이터의 십진법의 값에서 첫 자리의 수가 1인 경우가 많은 것처럼 맨 앞자리에 오는 숫자가 고르게 분포되어 있지 않다는 법칙으로.. 2014.12.29
평균으로의 회귀 어떤 식당에서 식사를 하였는데, 그 맛이 매우 좋아 다시 그곳을 찾았다가 실망한 경험이 한 번쯤은 있을 것이다. 이처럼, 맨 처음에는 평균을 훨씬 뛰어넘지만 두 번째는 평균값 이하로 되돌아오는 현상을 '평균으로의 회귀(Regression toward the mean)' 또는 '평균으로의 퇴보'라고 한다. 이는 주사위의 눈으로 설명이 가능하다. 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5이다. 주사위를 처음 던졌을 때 기댓값보다 높은 숫자가 나왔다고 하면 다음 번에는 작은 숫자가 나올 확률이 높다.예를 들어, 처음에 4의 눈이 나왔다고 하자. 다음 번에 4보다 작은 수 1, 2, 3이 나올 확률은 이고, 5나 6이 나올 확률은 로 두 번째에는 작은 숫자가 나올 확률이 크다. 즉, 한 번 평균을 .. 2014.12.27
섭씨온도와 화씨온도 미국에서는 관습적으로 온도 단위로 화씨를 주로 사용한다. 화씨온도는 독일의 파렌하이트(Fahrenheit, G. D. ; 1686~1736)의 이름을 딴 것으로, 기호 ℉로 나타낸다. 화씨온도로 물이 어는 온도는 32도(섭씨 0도)이며, 물이 끓는 온도는 212도(섭씨 100도)이다. 화씨(華氏)라는 용어는 독일 인명인 Fahrenheit의 중국어 표기 '화론해특(華倫海特)'에서 유래한 것이다. 또, 섭씨온도는 스웨덴의 셀시우스(Celsius, A. ; 1701~1744)의 이름을 딴 것으로, 섭씨(攝氏)라는 용어는 스웨덴 인명인 Celsius의 중국어 표기 '섭이사(攝爾思)'에서 유래한 것이다. 섭씨온도를 (℃)라고 할 때, 화씨온도 (℉)는 로 나타내어진다. 그러므로 화씨온도가 섭씨온도로 어느 정도 .. 2014.12.26
타원의 광학적 성질 아래의 그림과 같은 타원 모양의 당구대의 두 초점 F, F'에 공이 놓여 있을 때, 점 F에 놓인 공의 뒷면을 똑바로 치면 공은 당구대의 가장자리에 반사된 후 점 F'에 있는 공에 부딪힌다. 이것은 '타원의 한 초점에서 나간 빛은 타원에 반사된 후 다른 초점을 지나간다'는 타원의 광학적 성질에 의한 것이다. 타원의 광학적 성질은 의료 기기나 건축물의 설계에도 이용되고 있다. 가령, 신장 결석을 제거할 때, '체외 충격파 쇄석기'라는 의료 기기를 사용한다. '체외 충격파 쇄석기'는 타원의 광학적 성질을 이용하여 신장 속에 있는 결석을 파괴한다.우선 결석의 위치를 확인하고 타원 모양의 튜브에서 한 초점의 위치에 결석이 오게 한다. 그리고 타원의 다른 한 초점에서 충격파를 쏘면 이 충격파는 결석이 위치한 다른.. 2014.12.26
원뿔곡선 이차곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 단면의 둘레로 나타나는 곡선이기도 하다. 이러한 뜻에서 이차곡선을 원뿔곡선이라고 한다. 원뿔곡선에 대한 연구는 기원전 4세기경 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 처음으로 원뿔곡선을 정의한 사람은 메나이크모스(Menaechmos ; ?B.C.375~?B.C.320)이고, 원뿔곡선의 이론을 크게 발전시킨 사람은 아폴로니오스(Apollonios ; ?B.C. 262~?B.C.190)이다. 메나이크모스는 아래의 그림과 같이 원뿔의 꼭짓점에서 각의 크기 α가 직각보다 작은 예각원뿔 [그림1], α가 직각인 직각원뿔 [그림2], α가 둔각인 둔각원뿔 [그림3]을 그 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 연구하였다. 아폴로니오스는 메나이크모스와 같이 여러 가지 원뿔.. 2014.12.26
블랙잭 필승 전략 카지노의 여러 가지 도박 중에서 그나마 고객이 이길 확률이 가장 높은 것은 블랙잭(Blackjack)으로 알려져 있다. 블랙잭은 가지고 있는 카드에 적힌 수의 합이 21 이하이어야 하며, 21에 가까울수록 이기는 게임이다. 미국 캘리포니아 주립대학의 수학자 에드워드 소프(Edward O. Thorp ; 1932~)는 1962년 라는 책을 출판하여 화제를 모았다. 소프는 수학적으로 확률을 계산하여 블랙잭에 필요한 필승 전략을 제안하였는데, 그 전략대로 게임을 하여 주변에서 투자한 돈 1만 달러를 불과 30시간 만에 2만 달러로 불리고, 이를 통해 본인의 전략이 유효함을 입증하였다고 한다. 수학적 확률 계산에 의해 세워진 소프의 블랙잭 전략의 일부는 다음과 같다. 패의 합이 11 이하이면 카드를 더 받고,1.. 2014.12.23
힐베르트의 호텔 수학자 힐베르트(Hilbert, D. ; 1862~1943)가 만들어낸 '무한호텔'은 무한의 성질을 잘 보여주는 상황을 제공한다. 호텔의 이름에서 알 수 있듯이 무한호텔에는 무한개의 객실이 있어 무한히 많은 사람들이 투숙할 수 있다. 어느 날 한 손님이 무한호텔로 찾아왔는데, 객실이 무한개 있음에도 불구하고 비어 있는 방이 없었다. 그러자 호텔 종업원은 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련해 주었다. 어떻게 했을까? 새로 온 손님을 1호실로 안내하고, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로 옮기는 식으로 투숙객들을 옆방으로 한 칸씩 이동시킨 것이다. 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대이기 때문이다. 그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 모두 객실을 차.. 2014.12.20
튜링과 컴퓨터 미래학자 레이 커즈와일(Ray Kurzweil ; 1948~) 박사는 2025년에는 컴퓨터의 지능이 인간의 지능 수준과 같아지고 2050년이 되면 인류 전체와 컴퓨터 한 대의 지능 지수가 같아진다고 예측했다. 미래의 컴퓨터는 이처럼 똑똑해진다고 하지만 현재의 컴퓨터가 하는 일은 사칙계산에 불과하며, 컴퓨터는 매우 단순한 일을 반복적으로 빠르게 처리할 뿐이다. 그렇게 간단한 계산을 수행하는 컴퓨터가 어떻게 고도의 지적인 작업을 할 수 있을까? 그 비밀은 아무리 복잡한 일이라도 단순한 사칙계산으로 분해하고, 또 이를 컴퓨터가 알아들을 수 있는 프로그램으로 바꿀 수 있기 때문이다. 이런 과정에서 알고리즘과 순서도가 필요하다. 영국의 수학자 튜링(Turing, A ; 1912~1954)은 복잡한 과제를 단순한 .. 2014.12.20