연분수를 이용한 증명

연분수란, 주어진 수를 '정수부분과 소수부분으로 나눈 뒤, 소수부분이이 아닐 경우 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나누는 과정'을 반복하여 얻는 식을 말한다.

예를 들어, 유리수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나타내자. 그럼이고 소수부분의 역수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분이이므로를 연분수로 나타내면이 된다.

이와 같이 유리수를 연분수로 나타내는 과정에 등장하는 소수부분의 분모와 분자가 위의 과정을 거치면서 작아지기 때문에 어떤 유리수든지 위의 과정을 유한 번 적용하면 소수부분이 이 나오게 된다.

하지만 가령를 연분수로 나타내어 보면이므로의 정수부분은이고 소수부분은이다. 소수부분 의 역수을 다시 정수부분과 소수부분으로 나누면이므로 앞의 과정의 소수부분과 같아진다.

즉, 를 연분수로 나타내면

과 같이 소수부분은 무한 번 적용하여도 이 나오지 않으므로 는 무리수임을 알 수 있다.