대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 수학자 가우스(1777~1855)에 의해 처음으로 (비교적 엄밀히) 증명되었다. 가우스에 의해 증명된 대수학의 기본 정리는 다음과 같다.(여기서 n차방정식은 한 문자에 대한 n차 다항방정식을 가리킨다고 약속하자.)

· 대수학의 기본 정리
복소수 계수의 n차방정식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다.(단, n은 자연수)

 

거창해 보이는 이름에 비하면 정리 자체는 별 내용도 없는 것처럼 보인다. 하지만 이를 증명하기 위해 많은 수학자의 시도와 실패가 있었다. 그러던 중 1799년 가우스가 박사 학위 논문에서 최초로 이 정리를 증명하였고, 이를 바탕으로 대수학의 기존 정리는 다른 정리들과 합쳐져서 다음과 같은 강력한 사실을 알려주었다.

· 대수학의 기본 정리의 따름 정리
(1) 복소수 계수의 n차방정식에서 k중근^[각주:1]을 k개의 근으로 셀 때, 정확히 n개의 복소수 근을 갖는다.(단, k, n은 자연수이고 n≥k)
(2) 복소수 범위에서 n차다항식은 n개의 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있다.(단, n은 자연수)

 

따름 정리 (1)은 다항방정식이 가지는 근의 개수를 정확히 알려준다. 따라서 문제를 풀 때 근의 개수가 방정식의 차수보다 적게 주어졌다면 다음을 짐작할 수 있어야 한다.

(ⅰ) 중근이 있거나, (ⅱ) 제한 조건이 있거나, (ⅲ) 문제가 잘못된 것이다.

따름 정리 (2)는 (1)과 인수정리를 적용하여 얻어낸 결과이다. 즉, n차다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0을 만족하는 근은 n개뿐이므로 이 근들을 c1, c2, c3, …, cn이라 하면 f(x)=a(x-c1)(x-c2)(x-c3)…(x-cn) (단, a≠0)으로 인수분해됨을 알려준다. 또한 이를 통해 다음의 사실을 알 수 있다.

 

n차방정식을 푼다. ⇒ n개의 일차방정식을 각각 푼다.

 

이는 수학 공부에서 기초(일차방정식의 풀이)의 중요성을 보여준다. 다만 일반적으로

 

실수 계수의 다항방정식을 푼다. ⇒ 몇 개의 실수 계수의 일차, 이차방정식을 각각 푼다.

 

가 성립하고, 보통 복소수 범위의 인수분해가 쉽지 않기 때문에 다항방정식을 풀 때에는 일단 유리수, 실수 범위에서 인수분해를 시도한다.

 

- 발췌 및 수정 : 《숨마쿰라우데》

 

 

1. n차방정식 f(x)=0의 좌변을 인수분해했을 때, 정확히 k개의 (x-α)라는 인수가 있으면, α를 f(x)=0의 k중근이라 한다. [본문으로]