원에 관한 여러 이야기

 

1. 둘레의 길이가 같은 평면도형 중 넓이가 가장 큰 것은 원이다.

 

지금으로부터 약 2800년 전 고대 그리스 시대, 페니키아의 폭군 피그말리온의 여동생인 디도 여왕은 폭정을 피해 국외로 망명하여 카르타고에 정착하게 되었다. 그곳의 원주민들은 디도 여왕에게 쇠가죽을 주며 그것으로 둘러쌀 수 있는 만큼의 땅만을 그녀에게 팔겠다고 하였다. 디도 여왕은 쇠가죽을 잘게 썰어 긴 끈으로 이은 다음 이 끈으로 땅의 경계를 만들었는데, 그녀가 만든 경계는 정사각형이 아니고 원이었다. 이것으로 보아 총명한 디도 여왕은 동일한 둘레를 가지는 평면도형 중 넓이가 최대인 것은 원이라는 수학적 사실을 경험을 통해서 알고 있었던 것으로 보인다.

이 이야기는 디도 여왕의 문제라고 하는데, 등주부등식^[각주:1]의 역사를 말해 준다. 그러나 이 디도 여왕의 문제, 즉 등주부등식 문제의 엄밀한 증명은 19세기에 들어와서야 스위스의 수학자 슈타이너(Steiner, Jakob, 1796~1863)에 의해 이루어졌다.

우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 원 모양의 접시도 둘레의 길이가 같은 평면도형 중 넓이가 가장 큰 것이 원이라는 사실을 이용한 것으로 원 모양의 접시는 삼각형이나 사각형 등 둘레의 길이가 같은 다른 모양의 접시보다 많은 양의 내용물을 담을 수 있다.

 

 

2. 맨홀 뚜껑은 왜 원 모양일까?

 

길을 지나가다 흔히 볼 수 있는 맨홀 뚜껑은 항상 원 모양이다. 왜 그럴까? 그 이유는 맨홀 뚜껑이 구멍 속으로 빠지지 않게 하기 위해서이다. 만약 맨홀 뚜껑이 사각형 모양이라면 대각선의 길이가 한 변의 길이보다 더 길기 때문에 뚜껑이 구멍 속으로 빠질 수도 있다. 그러나 원은 어느 방향으로 재어도 폭이 일정하기 때문에 원 모양으로 맨홀 뚜껑을 만들면 절대 빠지지 않는다. 이와 같이 어느 방향으로 재어도 폭이 일정한 도형을 ‘정폭도형’이라 한다. 아래의 도형들은 모두 정폭도형이다.

 

 

3. 탱크로리는 왜 원통형인가?

 

휘발유를 싣고 달리는 탱크로리는 왜 둥근 원통 모양의 적재함을 달고 있을까? 유심히 지켜보면 우리 생활 주변에 원통 모양의 물체가 상당히 많다. 특히 액체를 담는 그릇은 거의 모두 단면이 원이거나 원과 유사한 모양을 하고 있다. 그 이유는 액체를 담을 때 같은 양의 재료로 만든 적재함 중 가장 많은 양을 담을 수 있기 때문이다. 이는 구의 기하학적인 특성을 잘 이용한 것이다. 하지만 구 모양으로 만들면 적재하기가 불편하고 보관도 쉽지 않기 때문에 차량에 적재할 때는 보통 원통 모양의 용기를 사용한다.

이러한 이유 외에 탱크로리를 원통 모양으로 만드는 이유가 한 가지 더 있다. 탱크로리는 휘발유나 화학 제품들을 주로 싣는데 이러한 제품은 마찰이나 충격에 민감하여 심하면 폭발할 위험이 있다. 이때 충격을 가장 잘 분산시키는 도형이 원이다. 원통 모양의 용기는 대칭형이어서 내부의 어느 곳에 충격을 받더라도 충격이 고루 분산되므로 위험을 줄일 수 있다.

 

 

4. 쥐불놀이와 인공위성

 

1m쯤 되는 줄에 불통을 달고 돌리면 불통은 손의 힘에 의하여 원운동을 하게 된다. 이때 불통의 운동 방향은 원의 접선 방향이 된다.

이와 같은 원리는 인공위성이 지구를 돌 때도 적용된다. 즉, 지상에서 약 160km 높이에 있는 인공위성은 그 속력이 초속 7.9km일 때 지구가 당기는 힘에 의하여 원운동을 한다. 인공위성이 지상으로부터 약 160km 높이에서 원 궤도 또는 타원 궤도 비행을 하는 것은 공기의 저항을 적게 하기 위해서이다. 속력이 초속 7.9km일 때 인공위성은 원운동을 하지만 초속 7.9km 초과 초속 11.2km 미만이면 타원 궤도 비행을 하고 초속 11.2km 이상 초속 16km 미만이면 지구 인력을 벗어나는 포물선 궤도로 비행한다. 또 속력이 초속 16km 이상이면 태양계의 인력권을 벗어나는 쌍곡선 궤도 비행을 한다.

 

 

5. 아리스토텔레스의 원

 

갈릴레이(Galilei, Galileo, 1564~1642)의 저서인 “역학과 지상 운동에 관한 두 신과학에 대해서의 대화와 수학적 증명”에는 ‘아리스토텔레스의 바퀴’라 불리는 기하학적 역설(Paradox)이 실려 있는데, 그 내용을 소개하면 다음과 같다.

아래의 그림과 같이 점 P를 중심으로 하는 동심원이 있다. 큰 원이 선분 AB를 따라 점 A에서 점 B까지 굴러 1회전했다고 하자. 이때 큰 원에 고정된 작은 원도 선분 CD를 따라 점 C에서 점 D까지 굴러 1회전한다. 여기에서 AB는 큰 원의 둘레의 길이이고 CD는 작은 원의 둘레의 길이이다. 그런데 AB=CD이므로 두 원의 둘레의 길이가 같다는 결론을 얻게 된다.

그렇다면 크기가 다른 모든 원의 둘레의 길이는 다 같다는 이야기가 되는데... 도대체 어디서부터 잘못된 것일까?

이 역설의 비밀은 정육각형을 회전시켜 보면 풀린다.

위의 그림에서 정육각형이 점 P에서 점 Q의 방향으로 회전하는 동안 큰 정육각형은 밀착하여 움직이지만 작은 정육각형은 밀착하지 않고 점프를 하게 된다. 즉, 작은 정육각형은 이동하면서 미끄러지는 현상을 겪게 된다.

정n각형의 경우를 생각해 보면 작은 정n각형의 자취의 길이는 n개의 변의 길이의 합과 n-1개의 미끄러짐 구간의 길이를 더한 값이 된다.

따라서 변수를 무한히 많이 늘린 다각형(=원)에서 작은 다각형(=작은 원)이 지나간 선분 속에서는 이 다각형의 수없이 많은 변의 길이와 수없이 많은 미끄러짐 구간의 길이가 포함되어 있다는 것을 알 수 있다.

 

 

6. 톨레미(Ptolemy) 정리

 

원에 내접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합은 대각선의 길이의 곱과 같다.

⇨ AB×CD+AD×BC=AC×BD

톨레미 정리는 피타고라스 정리의 일반화라고도 할 수 있다. 왜냐하면 □ABCD가 직사각형인 경우 □ABCD는 원에 내접하고 AB=CD, AD=BC, AC=BD이므로 톨레미 정리에 의해 AB^2+BC^2=AC^2이 성립하기 때문이다.

 

 

- 발췌 및 수정 : 개념+유형 교사용 강의자료

 

 

1. 등주부등식(等周不等式)은 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선이 둘러싸는 영역의 넓이뿐만 아니라 그것의 다양한 일반화에 대한 기하학적 부등식을 의미한다. [본문으로]