본문 바로가기
정신체조수학

미분의 발명과 분쟁

by mathpark 2020. 8. 25.

1675년에 독일의 저명한 철학자이자 수학자인 라이프니츠는 『분수에도, 무리수에도, 장애 없이 적용할 수 있는, 극대와 극소, 또한 접선에 대한 새로운 방법, 그리고 그것을 위한 특이한 계산법』이라는 긴 제목의 수학 논문을 발표하였는데, 이것이 미분학의 발명을 둘러싼 논쟁의 시발점이 되었다.

라이프니츠가 이 논문을 발표하기 10년 전, 이미 미분을 아이작 뉴턴이 알고 있었다. 뉴턴은 타원이 회전할 때 순간의 속도를 유율이라 정의하였는데 이것이 미분의 개념이다. 그는 이러한 개념을 동료의 권유로 책으로 출판하려 했지만 조금 미루다 결국 라이프니츠가 먼저 미분을 발표하게 된 것이다. 영국의 수학자들은 뉴턴이 미분의 창시자라고 생각했지만, 라이프니츠의 추종자들은 뉴턴이 그의 이론을 표절한 것이라 생각했다.

그러던 중에, 라이프니츠에게서 미분을 배웠고 동시에 그의 추종자였던 베르누이는 유럽의 여러 수학자들에게 한 문제를 내기 위해 편지를 쓴다. 이 문제를 푼다면 최고가 되어 큰 명성을 얻을 것이라며 6개월의 마감 시한을 정해 두었다.


높이가 다른 두 점 (A, B)에서 물체를 가장 빠르게 내려오게 하는 선은 무엇인가?


가장 빠른 선을 안다는 것, 그것은 최솟값을 안다는 것, 즉 미분을 안다는 것.

베르누이는 받아야 할 사람에게 답이 오지 않자 마감 기한을 늘렸다. 이 문제는 당시, 겨우 4명만 풀었는데 적게는 며칠에서 길게는 몇 주가 걸렸다고 한다. 그 4명 중 한 명은 라이프니츠이다. 또한 라이프니츠와 마찬가지로 이 편지를 받은 영국의 한 수학자는 앉은 지 몇 시간만에 이 문제를 다 풀었고, 보내는 사람의 이름도 없이 베르누이에게 정답의 편지를 보냈다. 그런데 베르누이는 편지를 받고 '사자는 발톱만 봐도 알 수 있다'라며 그것을 푼 사람이 뉴턴임을 알아 봤다. 분명 둘 다 미분의 개념을 알고 있었던 것이다.

그런데 당시 유럽 최고의 권위를 가진 학자들만 가입할 수 있었던 영국왕실학회, 그곳의 회장이었던 뉴턴은 중대한 결정을 한다. 미분의 창시자가 누구인지 조사하라고 지시한 것이다.

그 이후 조사단은 미분은 확실히 뉴턴이 먼저 발견한 것이고 라이프니츠가 표절한 것이 명백하다고 결정한다. 이 사건 이후 라이프니츠를 지지하던 대다수의 학자들은 충격에 빠지게 되었고, 라이프니츠도 큰 충격을 받게 되었다. 그는 남은 생애 대부분을 조롱과 칭송을 동시에 받으며 보내게 된다.

하지만 현재는 뉴턴과 라이프니츠 둘 다 미분을 정립한 사람으로 인정되고 있다. 일단 뉴턴이 미분학을 먼저 발견했다는 사실은 틀림없다. 하지만 라이프니츠가 독자적으로 미분학을 개발한 것도 사실이다. 그렇다면 그 둘의 차이는 무엇일까? 두 미분의 차이는 바로 '기호'와 '연구의 초점'에 대한 내용이라고 말할 수 있다.


먼저 뉴턴은 기하학적 관점에서 출발했다. 당시에 뉴턴은 주로 물체의 역학적 운동에 대해 연구했는데, 이를 기술하기 위해선 곡선의 접선에 대한 연구가 필수적이었다. 무한히 작은 시간간격 사이에 발생하는 두 증분량의 비, 그렇게 시작된 것이 뉴턴의 미분법. 일명 유율법이라 불리는 방법이다. 또한 뉴턴의 표기법은 f의 도함수를 f'등으로 기술하는 것인데 현재까지도 사용되고 있다. 그렇지만 이 표기법에 수학적인 의의나 기호학적 의의가 있는 것은 아니다. 단지 편의성만 있을 뿐이다.


라이프니츠는 뉴턴에 비해 좀 더 해석학적인 부분에서 연구를 시작했다. 바로 변화율이라는 것이다. 이는 함수 f'(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법이다. 라이프니츠가 창안한 기호는 현재까지도 쓰이고 있는 dy/dx형태의 분수형 기호이다. 라이프니츠의 기호는 기호학적으로 상당히 큰 의미를 갖는다.  dy/dx라는 분수꼴의 기호는 미분을 다룸에 있어 분수연산을 도입할 수 있다는 의미를 내포한다. 즉, dy/dx =1이라는 의미를 시작으로 합성함수의 미분의 연쇄율이나, 역함수의 미분, 더 나아가서는 미분방정식의 풀이에 자주 쓰이는 테크닉인 변수분리 등을 떠올릴 수 있게 한다.


기호의 실용성을 편의성으로만 따지면 뉴턴의 기호가 편하다. 하지만 그것은 독립변수가 1개인 경우의 이야기이고, 2개 이상인 경우에는 매우 혼란스럽다. 반면 라이프니츠의 기호는 엄청난 범용성을 가진다. 그러므로 실생활에선 뉴턴의 기호가, 연구의 진행에 있어서는 라이프니츠의 기호가 실용적이라고 할 수 있다. 다음으로 미분 연구의 초점에 대한 내용을 살펴보면, 뉴턴은 물체의 역학적 현상을 설명하기 위해 미분법을 도입했고 물체의 역학적 현상은 대부분 시간에 대한 함수로 나타나므로 사실상 뉴턴의 기호만으로도 충분하다. 반면 라이프니츠의 미분법은 다변수, 혹은 합성함수 등등 여러 형태의 함수에 대한 연구의 흔적이다.


뉴턴은 거듭제곱 수열의 미적분을 개발해 이 수열의 미분과 적분, 그리고 그 역을 구하는 방법을 보여주었고, 라이프니츠는 미적분의 특성과 무한소의 합계를 구제, 즉 극한의 개념에서 만들어진 뉴턴의 미적분학과는 달리 라이프니츠의 이론은 곡선의 접선 문제에서 비롯된 합과 차, 즉 곡선의 기울기를 근거로 만들어졌던 것이다. 따라서 물리학자 뉴턴에게 수학은 물리학을 위한 연구 도구였던 반면에, 철학자 라이프니츠에게 수학은 인간의 사유를 합리적으로 표현하는 도구였던 것이다. 결국 두 사람은 서로 다른 관점에서 미적분학을 생각하게 되었고, 그에 따라 아이디어를 표현하는 방식도 달랐던 것이다.


다만 라이프니츠는 뉴턴보다 먼저 과학계에서 미적분을 사용할 수 있도록 했으며, 또한 미적분법을 알기 쉽게 전개하는 데에서도 뉴턴보다 훨씬 뛰어나, 라이프니츠가 최초로 사용한 용어와 형식이 오늘날에도 그대로 사용되고 있기 때문에 미분 기호, 적분 기호의 창안 등 해석학 발달에 지대한 공헌을 하였다고 할 수 있다. 그리하여 어떤 사람은 라이프니츠의 이 표기법을 수학 기호 중 최고의 걸작이라고 평하기도 한다.


최초로 미분을 발견한 뉴턴, 후세에 더 많은 공헌을 한 라이프니츠의 미분, 당신은 누가 미분의 진짜 주인이라고 생각하는가?



- 발췌 및 수정 : 서울과학기술대학교 교지 <러비>



[미분의 분쟁을 풍자한 그림 : via Fickr]


'정신체조수학' 카테고리의 다른 글

적분의 실생활 활용  (0) 2020.08.28
미분의 발명과 분쟁  (0) 2020.08.25
생활 속의 미분 활용  (0) 2020.08.24
극한의 엄밀한 정의  (0) 2020.08.23
테셀레이션의 아버지 Escher  (0) 2020.08.21

댓글0