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정신체조수학

도형을 이용한 부등식의 증명

by mathpark 2022. 12. 26.

 

대표적인 절대부등식 세 가지 즉, (1) 삼각부등식, (2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계, (3) 코시-슈바르츠의 부등식은 일반적으로 실수의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.


또한 이러한 부등식이 성립함을 도형을 이용하여 직관적으로 이해할 수도 있다. 하나씩 살펴보도록 하자.

 




(1) 삼각부등식의 증명

방향을 고려하여 움직일 때, 수직선에서의 '실제 이동 거리와 변위(출발 지점과 도착 지점 사이의 거리)'로 삼각부등식이 성립함을 이해할 수 있다.

 

 

 


(2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계의 증명

두 양수 a, b(a>b)에 대하여 a+b를 지름으로 하는 반원을 그려 보면 직관적으로 이해하기 쉽다.

 

 

 


(3) 코시-슈바르츠의 부등식의 증명

삼각형의 성질을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

 

 

 

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