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정신체조수학

극한의 엄밀한 정의

by mathpark 2020. 8. 23.

미적분을 공부하다 보면 코시라는 수학자의 이름을 자주 듣게 된다. 특히 '코시-슈바르츠의 부등식'을 알고 있는 사람이면 코시라는 수학자의 이름을 이미 들어 봤을 것이다.

그는 수학과 물리학에 업적이 많다. 특히 극한이라는 개념의 엄밀한 정의를 만드는데 기초를 마련한 사람이다. 또한 과학아카데미에서 논문의 분량을 4페이지로 제한한 이유가 코시의 논문 양이 매우 많아서였기 때문이었다고 하는 웃지 못할 일화의 주인공이기도 하다.

코시는 프랑스 혁명 시기에 파리에서 태어났다. 정치적 혼란으로 인해 자주 이사를 했기 때문에 아버지에게 교육을 받았다. 그런데 당대 최고의 수학자인 라플라스와 라그랑주에게 재능을 인정받아 그들은 그에게 수학 공부를 권유하게 되었다. 1805년에 에콜 폴리테크니크에 입학하여 공학을 전공하고 1810년에 토목 기사 학교를 졸업하여 잠시 엔지니어로 일했다. 그동안 수학에 관한 논문을 많이 발표하여 그 공로로 에콜 폴리테크니크의 교수가 되었고 과학 아카데미의 회원이 되었다. 그는 1857년에 생을 마감할 때까지 교육과 연구에 힘을 썼다고 한다.


교과서에서 함수의 극한을 다음과 같이 정의하였다.


그러나 극한의 정의에 엄밀성이 요구되면서 좀더 수식적으로 논리적인 정의가 필요했다. 그래서 코시와 바이어슈트라스가 제안한 것이 바로 엡실론-델타법이다.


함수의 극한을 엄밀하게 정의한 덕분에 다른 극한이나 정리를 엄밀하게 증명할 수 있게 되었다. 그 예가 교과서에서는 증명을 하지 않고 넘어갔던 합, 차, 곱, 몫, 실수배와 같은 함수의 극한의 성질들이다.

처음 엡실론-델타법을 접한 사람에게는 이해 못할 방법이라고 생각될 것이다. 하지만 극한에 대한 여러 가지 설명들을 논리적으로 풀 수 있는 유용한 도구이다.


발췌 및 수정 : 수경출판사 <바른개념 고등수학>



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