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  원에 관한 여러 이야기 1. 둘레의 길이가 같은 평면도형 중 넓이가 가장 큰 것은 원이다. 지금으로부터 약 2800년 전 고대 그리스 시대, 페니키아의 폭군 피그말리온의 여동생인 디도 여왕은 폭정을 피해 국외로 망명하여 카르타고에 정착하게 되었다. 그곳의 원주민들은 디도 여왕에게 쇠가죽을 주며 그것으로 둘러쌀 수 있는 만큼의 땅만을 그녀에게 팔겠다고 하였다. 디도 여왕은 쇠가죽을 잘게 썰어 긴 끈으로 이은 다음 이 끈으로 땅의 경계를 만들었는데, 그녀가 만든 경계는 정사각형이 아니고 원이었다. 이것으로 보아 총명한 디도 여왕은 동일한 둘레를 가지는 평면도형 중 넓이가 최대인 것은 원이라는 수학적 사실을 경험을 통해서 알고 있었던 것으로 보인다. 이 이야기는 디도 여왕의 문제라고 하는데, 등주부등식의 역사를 말해 준다. 그러나 .. 2023.08.08

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  삼각비의 어원과 탈레스 삼각법(trigonometry)이란 그리스어 trigon(삼각형)과 metria(측정)의 합성어이다. 이는 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기 등을 계산하는 것을 뜻한다. 삼각법에 사용되는 기호 sin, cos, tan는 각각 sine, cosine, tangent의 줄임말이다. 영어 sine은 라틴어 sinus에서 온 것으로 알려져 있다. sinus의 뜻은 매우 다양해서 길의 커브, 땅의 움푹 들어간 곳, 꼬불꼬불한 길 등을 비롯하여 해안의 만(灣), 가슴 등을 뜻하기도 한다. 본래 인도의 수학자 아리아바타는 사인에 해당하는 것을 ardha-jya 또는 jya-ardha라 하고, 이 단어를 줄여서 단지 jya라고 하였다. 이후에 아랍 사람들이 jya를 음역해서 jiba라는 단어를 만들어냈.. 2023.07.25

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  우리집 인테리어 #03 도배와 장판 시공까지 마치고 나니 이제 정말 막바지에 이르렀다는 실감이 듭니다. 빈 공간을 다시 채워 넣는 일이 남았습니다. 거실 베란다 한쪽에 작은 창고가 있어 자질구레한 물건들을 수납했었는데 그것만으로는 부족하여 반대편 끝에 커다란 장을 짜 넣어 보다 넓은 수납공간을 확보했습니다. 층고가 높지 않아 화려하고 멋진 조명은 어울리지 않을 것 같아서 거실등은 그냥 무난하게 심플한 3등짜리 LED를 달았습니다. 나머지 방등과 주방등은 기존에 사용하던 것을 떼어놨다가 재활용했습니다. 구입하여 직접 달아둔지 오래되지 않았고 거의 같은 디자인이라 위화감이 없습니다. 꽤 감각적으로 보이는 현관등과 식탁등은 서비스로 달아주셨습니다. 현관 비디오폰도 작고 단순한 것이면 충분합니다. 주방에 냉장고장과 키큰장이 설치되었습.. 2023.05.26

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  우리집 인테리어 #02 이제 이사를 하고 본격적으로 공사를 시작할 날이 다가왔습니다. 둘째 낳고 이사 와서 부모님 모시고 3년, 두 분 모두 돌아가시고 13년을 더 살아 온 집을 막상 정리하려니 근심도 많아지고 앞으로의 여정이 까마득하게만 느껴집니다. 그간의 세월을 대변하듯 묵은 짐들이 버리고 또 버려도 계속 나옵니다. 가전제품과 가구 대부분을 버리거나 중고로 넘기는 데만도 시간과 비용이 많이 들었습니다. 아이들 어렸을 때 모습이 담긴 수많은 액자들도 사진만 남기고 모두 폐기했습니다. 장인장모님이 하사해주셨던 물소가죽 소파와 티테이블, 킹사이즈 흙침대까지 아쉽지만 모두 처분했습니다. 당장 생활하는데 써야 할 최소한의 살림살이들은 어렵사리 한 달 계약한 소형 아파트에 옮겨두고 드디어 이삿날이 되었습니다. 아침부터 심상치 않은 날.. 2023.05.25

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  우리집 인테리어 #01 1996년 준공이 되었고 2007년부터 16년 동안 살아온 구축아파트를 드디어 올수리 하기로 식구들과 합의를 봤습니다. 이곳저곳 비교하여 견적 받고 부지런히 발품을 팔아야 하나 워낙에 그런 걸 귀찮아하는 성미 탓에 그냥 지인들로부터 추천받은 업체와 초스피드로 계약하고 진행하기로 합니다. 인테리어 업체를 몇 번 방문하여 온갖 종류의 타일과 바닥재와 벽지 등을 차례차례 고르고 붙박이장을 비롯하여 싱크대, 냉장고장, 키큰장, 베란다장, 신발장, 중문 등 큰 가구들부터 선택합니다. 저를 포함하여 식구들 모두 결정장애가 있는 편이라 거의 사장님이 추천해 주는 스타일에서 크게 벗어나지는 못했습니다. ㅋㅋㅋ 막상 진행을 하려고 보니 공사 기간 동안 지낼 곳을 찾는 것이 무엇보다 시급하고 중요한 일이 되었습니다. 호텔.. 2023.05.24

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  통계의 허와 실 방대한 데이터를 그대로 방치하면 하나의 쓰레기와 같지만 데이터를 정리하여 자료로 요약하면 영향력을 가진 막강한 숫자로 작용하게 된다. 막강한 숫자로 이루어진 통계 자료는 객관성 있는 정보를 제공해 줌으로써 여러 가지 판단에 도움을 주는 이점이 있지만 자칫하면 거짓말을 정당화할 수 있는 수단으로 악용될 가능성이 많다. “숫자는 거짓말을 하지 않지만 거짓말쟁이는 그럴듯한 수치로 사람들을 현혹한다.”는 말이 있듯이 통계가 주는 이점에 반해 위험 요소도 참 많다. 이를 대변이라도 하듯이 일찍이 영국 총리를 지낸 벤저민 디즈테일리는 “세상에는 세 가지 거짓말이 있다. 거짓말, 새빨간 거짓말, 그리고 통계.”라는 말을 했고, ‘통계라는 이름의 거짓말’이라는 책의 서문에는 “통계는 신용을 잃었다.”는 말이 나온다. .. 2023.02.27

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  제논의 역설 그리스 철학자 제논(BC 490?~BC 430?)은 그 당시 반박하기 어려운 여러 가지 역설을 내놓아 많은 사람들을 당황하게 만들었다. 시간이 흐를수록 그의 주장이 틀렸다는 것을 알게 되었지만 그의 논증 중 어느 부분이 잘못된 것인지 반박하기는 쉽지 않은 일이었다. 제논이 내놓은 역설 중 유명한 역설 3가지를 소개하니 읽어 보고 어디가 잘못된 것인지 생각해 보자. 참고로 고등학교 수학에서 배우는 무한의 개념을 떠올려 보길 바란다. (1) 아무리 빨라도 따라잡을 수 없는 거북 – 아킬레우스와 거북 그리스 신화에 나오는 아킬레우스가 거북의 10m 뒤에서 거북의 10배의 속력으로 달리기를 하고 있다고 하자. 그럼 아킬레우스가 10m를 갈 때, 거북은 11m 위치에 있을 것이고, 다음번에 아킬레우스가 11.1m.. 2023.02.24

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  캐논 컬러잉크젯 프린터 G5090 사무실에서 사용할 컬러프린터가 필요한데 레이저와 잉크젯 사이에서 갈등을 때리다가 인쇄량과 유지비를 감안하여 잉크젯으로 결정 후 여러 제품을 비교해 보고 캐논 제품으로 주문했습니다. 되게 오랜만에 잉크젯 프린터를 구입하는 건데 이렇게 자체적으로 무한잉크를 깔끔하게 공급할 수 있다는 게 마음에 들었습니다. 게다가 자동 양면인쇄는 꼭 필요한 기능입니다. 프린터가 도착하고 앙크를 주입하는데 실제로 정말 편리했습니다. 사무실에서 쓸 거라 늘상 켜놓을 텐데 절전 기능이 있으면 더욱 좋겠죠. 매우 직관적으로 알기 쉽게 되어있어 굳이 설명서를 보지 않고도 잉크 주입하는데 어려움이 없습니다. 한 방울도 흘리지 않고 잘 넣었습니다. 테스트하느라 몇 장 출력해봤더니 금세 잉크량에 차이가 나기 시작합니다. 부족한 잉크만 따로.. 2023.02.17

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  2023 새해맞이 여행 #03 여행의 시간은 왜 이다지도 빨리 흐르는 걸까요. 벌써 3일째 아침을 맞습니다. 펜션에서 나와 '달마산'으로 향합니다. '미황사'도 둘러보고 싶었지만 다음 목적지로 가는 일정이 만만치가 않아 '도솔암'만 방문하기로 합니다. 절경입니다. 해발 489m밖에 되지 않지만 아득하게 느껴집니다. 등산에 젬병인 저로서는 입구까지 차를 가지고 올라갈 수 있는 게 천만다행입니다. 이정표를 보고 800m 정도를 걷다 보면 도솔암이 빼꼼하게 모습을 드러냅니다. 계단이 없는 완만한 산길이라 어제 땅끝탑을 오고 갔던 길보다 오히려 훨씬 수월합니다. 기암괴석의 웅장함이 넋을 잃게 만듭니다. 호남의 금강산이라는 칭호가 이보다 더 어울릴 수는 없는 듯합니다. 도솔암에 올라 아래를 보니 또 하나의 작은 전각이 보입니다. '삼성각'입니.. 2023.01.14

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  2023 새해맞이 여행 #02 호텔에서 아침식사를 마치고 체크아웃을 한 후 '코롬방제과점'에 찾아갑니다. 대전에는 '성심당', 군산에는 '이성당'이 있다면 목포에는 '코롬방'이 있다고 하는 전국에서 다섯 손가락 안에 드는 빵집이랍니다. 다양한 빵들이 즐비하지만 마늘, 새우, 크림치즈 바게트가 이곳의 삼대장이라고 합니다. 당장 먹을 것을 몇 개 담고 세 종류의 바게트는 집으로 가져가려고 포장합니다. 바로 옆의 카페에서 소프트 아이스크림도 냠냠. 목포를 떠나 해남으로 향합니다. 땅끝으로 가기 전에 잠시 '월호리'에 들르기로 합니다. 제가 태어난 고향입니다. 마을 입구에 있는 비석을 유심히 살펴봅니다. 1970년에 세워진 것으로 돌아가신 아버지의 흔적이 고스란히 남아 있습니다. 할아버지, 할머니, 큰아버지, 큰어머니가 사시던 큰집에도 들렀.. 2023.01.14

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  2023 새해맞이 여행 #01 4년 동안 일한 직장을 그만두고 잠시 휴식을 취하고 있는 시기에 새해가 밝고 딸아이와 아들 녀석도 방학을 맞아 가볍게 여행이나 다녀오기로 합니다. 모처럼 해외로 나가는 것도 고려했으나 아내를 두고 가야 하고 아직은 좀 이른 것 같아 일단 남쪽으로 내려가는 걸로. 3박 4일 일정이라 짐이 꽤 많아졌습니다. 기름 가득 넣고 출발~!! 4시간 여를 달려 국내에서 탑승거리가 가장 길다는(3.23km) '목포해상케이블카'를 타러 왔습니다. 바닥이 투명한 크리스탈 캐빈 왕복권을 이용하기로 합니다. 155m에 이르는 지주타워(세계 두 번째 높이라고 합니다)에 매달려 바다 위를 건너는 스릴이 있습니다. 미세먼지가 심한 날씨여서 조금 아쉽습니다. 이왕이면 크리스탈 캐빈이어야 합니다. 쫄깃쫄깃. 케이블카에서 내려다 보였던.. 2023.01.12

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  지수와 로그의 실생활에서의 활용 자연 현상이나 사회 현상 중에는 시간, 거리 등에 따라 증가하거나 감소하는 변화 현상이 많이 있는데, 이러한 현상을 수학적으로 표현할 수 있는 수단이 보통 지수함수와 로그함수이다. 따라서 자연과학이나 경제학, 사회학 등 수학의 여러 응용 분야에서 지수함수와 로그함수는 매우 유용한 연구 도구로 이용되고 있다. (1) 지수의 실생활에서의 활용 '인구론'으로 알려진 영국의 경제학자 맬서스는 1798년에 "세계 인구는 기하급수적으로 늘어나는데 식량 생산은 산술급수적으로 늘어나기 때문에 이로 인해 전 세계는 식량난에 닥칠 것이다."라고 말하였다. 맬서스가 제시한 지수성장모형(exponential growth model)은 현재 인구를 P0, 시각 t에서의 인구를 P(t)라 하면, 식은 이고, 그래프의 개형은 아래.. 2023.01.04

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  뉴턴의 다항식 보간법 세 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수를 구해야 할 때 우리가 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 풀이 방법은 다음과 같다. 이와 같이 그래프가 (n+1)개의 점을 지나는 n차 다항함수의 정확한 식을 얻는 방법을 ‘다항식 보간법(Polynomial interpolation)’이라 한다. 다항식 보간법은 주어진 몇 개의 점을 지나는 곡선을 그래프로 갖는 다항함수를 구해 그 점들 사이의 알려지지 않은 값들을 추정하기 위한 방법으로 ‘수치해석’이라는 수학 분야에서 활용된다. 그런데 이러한 보간법이 그다지 특별해 보이지는 않는다. 단순히 연립일차방정식을 반복해서 푸는 과정이므로. 하지만 학생들이 고통받지 않도록 출제자가 숫자를 잘 다듬어 내놓는 인위적인 상황이.. 2023.01.02

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  도형을 이용한 부등식의 증명 대표적인 절대부등식 세 가지 즉, (1) 삼각부등식, (2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계, (3) 코시-슈바르츠의 부등식은 일반적으로 실수의 성질을 이용하여 증명할 수 있다. 또한 이러한 부등식이 성립함을 도형을 이용하여 직관적으로 이해할 수도 있다. 하나씩 살펴보도록 하자. (1) 삼각부등식의 증명 방향을 고려하여 움직일 때, 수직선에서의 '실제 이동 거리와 변위(출발 지점과 도착 지점 사이의 거리)'로 삼각부등식이 성립함을 이해할 수 있다. (2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계의 증명 두 양수 a, b(a>b)에 대하여 a+b를 지름으로 하는 반원을 그려 보면 직관적으로 이해하기 쉽다. (3) 코시-슈바르츠의 부등식의 증명 삼각형의 성질을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 2022.12.26

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  소수(prime number)의 무한성 증명 소수(prime number)가 무한히 많음을 증명해 보자. 귀류법(reductio ad absurdum)을 이용한다. 이 방법은 약 2000년 전 유클리드가 《원론》에서 소개한 증명이다. 2022.12.26