코흐의 눈송이 곡선

 

스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, N. F. H. ; 1870~1924)는 1904년에 발표한 논문에서 넓이는 유한하지만 그 영역을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 무한히 긴 도형을 소개하였다.

이 도형을 만드는 방법은 다음과 같다.

 

❶ 정삼각형을 한 개 그린다.
❷ 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분을 지운 다음, 그 길이를 한 변의 길이로 하는 정삼각형을 그려서 변을 연결한다.
❸ ❷의 과정을 반복한다.

다음 그림은 위의 과정을 3번 반복한 것이다.

 

이 과정을 한없이 계속할 때 만들어지는 도형을 그의 이름을 붙여서 '코흐의 눈송이 곡선(Koch snowflake curve)'이라고 한다.

이 눈송이 곡선의 길이를 계산하기 위하여 처음 삼각형의 한 변의 길이가 어떻게 변하는지 알아보자.

 

 

 

위의 그림에서 알 수 있듯이 각 단계에서 변의 길이가

배씩 증가하므로 첫 번째 단계의 변의 길이를

라고 하면

번째 단계에서 변의 길이는

가 된다.
이것은 공비가

인 무한등비수열이므로

임을 알 수 있다.

따라서 코흐의 눈송이 곡선의 길이는 무한대로 발산하게 된다.

한편 코흐의 눈송이 곡선은 두 번째 단계에서 만들어진 정육각형에 외접하는 원 속에 만들어지기 때문에, 눈송이 곡선이 둘러싸고 있는 영역의 넓이는 이 원의 넓이보다 작다.

따라서 코흐의 눈송이 곡선이 둘러싸고 있는 영역의 넓이는 유한하다.