천재 수학자들의 오류

이탈리아의 수학자 그란디(Grandi, L. ; 1671~1742)는 1703년에 무한급수 에 대하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 서로 다른 합을 구하였다.

그는 급수의 합이 이처럼 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 이라고 결론을 내렸다. 왜냐하면 등식 에 을 대입하면 이 성립하기 때문이다.

또한 그는 로부터 , 즉 이라고 생각했다.

독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 철학자 울프(Wolff, C. 1679~1754)에게 쓴 편지에서 그란디의 주장에 동조하면서 합 S가 0 또는 1이 될 확률이 같기 때문에 S는 확률의 이론에 의하여 그 평균인 이라고 하였다.

베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705), 오일러(Euler, L. ; 1707~1783) 등도 비슷한 오류를 범하였는데, 이것은 그 당시에 극한의 개념이 엄밀하게 정립되지 않아서 생긴 하나의 헤프닝이다.

극한값의 성질은 수렴하는 수열에 대해서만 성립함을 이해하면 이러한 오류는 생겨나지 않는다.