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정신체조수학

우박 수열 - 콜라츠 추측

by mathpark 2014. 12. 12.

독일의 수학자인 콜라츠(Collatz, L. ; 1910~1990)는 1937년에 다음과 같이 정의되는 자연수의 수열을 소개하였다.


이 홀수이면,

이 짝수이면,


이와 같은 수열이 어떤 성질을 갖는지 알아보자.

만약 이면 , , 이다.

따라서 이 1, 2, 4인 경우에는 그 이후에 4, 2, 1이 반복되어 나타나게 된다.

예를 들면 다음과 같다.


이면 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,
이면 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,

이면 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,


아래의 그래프는 일 때의 수열 을 그래프로 나타낸 것이다. 이 그래프는 마치 롤러코스터처럼 상승과 하강을 반복하다가 4, 2, 1이 반복되면서 안정된다 하여 '롤러코스터 수열'이라고도 하고, 갑자기 쏟아지는 우박과 같다 하여 '우박 수열(hailstone sequence)'이라고도 하며 일반적으로 '콜라츠 추측 (Collatz conjecture)'이라 부르기도 한다.




이 추측은 컴퓨터로 까지 모두 성립함이 확인되었다.
그런데 어떤 자연수이든지 왜 마지막에 4, 2, 1이 나타나서 안정되는지에 대하여는 아직까지 증명이 되지 않고 있다.


1966년에 영국의 수학자 트웨이츠(Thwaites, B.)는 이 문제를 해결하는 사람에게 주겠다고 1000파운드의 상금을 걸었으며, 역시 이 문제의 해결에 현상금을 걸었던 헝가리의 수학자 에르되시 팔(Erdős Pál)은 "수학은 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되어 있지 않다"라는 말을 남겼다.





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