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정신체조수학

천재 수학자들의 오류

by mathpark 2014. 12. 13.

이탈리아의 수학자 그란디(Grandi, L. ; 1671~1742)는 1703년에 무한급수 에 대하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 서로 다른 합을 구하였다.




그는 급수의 합이 이처럼 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 이라고 결론을 내렸다. 왜냐하면 등식 을 대입하면 이 성립하기 때문이다.


또한 그는 로부터 , 즉 이라고 생각했다.

독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 철학자 울프(Wolff, C. 1679~1754)에게 쓴 편지에서 그란디의 주장에 동조하면서 합 S가 0 또는 1이 될 확률이 같기 때문에 S는 확률의 이론에 의하여 그 평균인 이라고 하였다.

베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705), 오일러(Euler, L. ; 1707~1783) 등도 비슷한 오류를 범하였는데, 이것은 그 당시에 극한의 개념이 엄밀하게 정립되지 않아서 생긴 하나의 헤프닝이다.

극한값의 성질은 수렴하는 수열에 대해서만 성립함을 이해하면 이러한 오류는 생겨나지 않는다.






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댓글2

  • ㅇㅇ 2018.11.10 04:21

    2014년엔 델타 입실론이나 해석학에대해서 안배웠었나 보내요. 아니면 1/2는 틀렸다는 종교적인 믿음이 있다던가.

    현대에는 1/2 로하든 아예 줄 수 없다고 하든 상관 없다는게 대세 입장인거 같은데요. ZFC를 쓰든 ZF를 쓰든 기존의 증명들과 무관하다는 것처럼 거기는 이제 옳고 그름의 문제가 아니라 선택의 문제인 것처럼 말이죠. 아니면 연속체 가설을 참이라 하든 거짓이라 하든 무모순적이라던가. 물론 저는 수학을 본업으로 삶는 사람도 아니고 저 사실들을 증명하라고 하면 못할테지만, 저들이 천재인데는 뒤이은 수많은 천재들의 검증이 이뤄진 다음에도 견뎌 냈기 때문이고, 저들의 이론으로 설명할 수 없는 것이 나타난다는건 그들의 증명이 거짓이라는 게 아니라 새로운 정의를 통한 확장이 필요하단 거겠죠.그런 의미에서 잘못된 증명이라는 것은 좀...

    https://books.google.co.kr/books?id=r6o9DAAAQBAJ&pg=PT68&lpg=PT68&dq=에이브러햄+로빈슨&source=bl&ots=eEy_3VFyUQ&sig=N_9c6UaOCwNDqg1idCiVlHb35hk&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwibr5vD-8feAhUDfrwKHVrqBeAQ6AEwHHoECAIQAQ#v=onepage&q=에이브러햄%20로빈슨&f=false
    답글

    • Favicon of https://www.mathpark.com mathpark 2018.11.10 13:17 신고

      지난한 논란 끝에 현대 수학에서는 맨 마지막 문장으로 정리된 것으로 이해하시면 될듯 합니다. 폭을 좁혀야만 해결되는 문제들이 있는 것이지요.