Monty Hall Dilemma

 

이 문제는 텔레비전 게임 쇼 <Let's Make a Deal>에서 나온 것이다.
게임 쇼의 특징은 다음과 같다.

게임 참가자는 세 개의 문을 향해 서 있다. 그 사람은 한 개의 문 뒤에 아주 갖고 싶은 상품(가령 최고급 자동차)이 있다는 것을 알고 있다. 나머지 두 개의 문 뒤에는 약간 귀찮고 탐탁하지 않은 품목(가령 염소)이 있다. 게임 참가자는 (어느 곳에 무슨 상품이 있는지를 모른 채로) 문을 하나 고르고, 문 뒤에 있는 상품을 받는다.
그러나 사회자인 몬티 홀은 게임 참가자를 조르거나 부추기고 유혹하여 심경이 변화하도록 조장하고, 어느 문이 가장 바람직한지에 대해 혼란에 빠지도록 유도한다.

'몬티 홀' 문제로 알려진 이 문제는 다음과 같다.

 

게임 참가자는 한 개의 문을 선택한다. 편의상 게임 참가자가 세 번째 문을 선택했다고 하자. 그 문이 열리기 전에, 문 뒤에 무엇이 있는지를 알고 있는 몬티 홀은 "나는 이제 나머지 문 중 한 개의 문 뒤에 무엇이 있는지를 공개할 것이다"라고 한다.
한 개의 문이 열리고 거기에 염소 한 마리가 있다.
그러고 나서 몬티 홀은 "당신이 선택한 문을 바꾸겠습니까?"라고 말한다.

 

매우 흥미있는 문제이다.
분명히 게임 참가자는 그 문 뒤에 염소가 있기 때문에 몬티 홀이 열었던 문을 선택하지는 않을 것이다.
따라서 이제 쟁점은 게임 참가자가 현재 선택한 문에서 남아있는 문(게임 참가자가 선택하지 않았고 몬티 홀이 열지 않은 것)으로 선택을 바꿀지의 여부다.
단순하게 생각하면 게임 참가자가 이미 선택한 문 뒤에 염소가 있을 확률과 남아 있는 문 뒤에 염소가 있을 확률이 같다고 말할 수 있다.
결국, 한 개의 문 뒤에는 염소가 있고 다른 한 개의 문 뒤에는 자동차가 있다.
선택을 바꾸는 것에 대한 쟁점은 무엇인가?
 

 

첫 번째 문	두 번째 문	세 번째 문
G1	G2	C
G2	G1	C
G1	C	G2
G2	C	G1
C	G1	G2
C	G2	G1

염소를 각각 G1, G2(첫 번째 염소와 두 번째 염소)로, 자동차는 C로 나타낸다.
간단히 하기 위하여, 게임 참가자는 항상 세 번째 문을 선택할 것이라고 하자.
그러나 첫 번째 문 뒤에 염소가 있지 않을 수도 있기 때문에 (두 번째 문 뒤에 염소가 있을 수도 있다) 몬티 홀은 항상 첫 번째 문 뒤에 염소가 있는 것을 공개할 것이라고 가정할 수는 없다. 따라서 고려해야 할 경우가 몇 가지 있다.

(1) 첫 번째 경우, 몬티 홀은 첫 번째 문 또는 두 번째 문 뒤의 염소를 공개할 것이다.
이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것은 이익이 되지 않는다. 따라서 N이라고 기록한다.

(2) 두 번째 경우는 첫 번째의 경우와 비슷하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것은 이익이 되지 않는다. 역시 N이라고 기록한다.

(3) 세 번째 경우, 몬티 홀은 첫 번째 문 뒤의 염소를 공개할 것이고, 이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 Y라고 기록한다.

(4) 네 번째 경우는 세 번째 경우와 비슷하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이 된다. Y라고 기록한다.

(5) 다섯 번째의 경우, 몬티 홀은 두 번째 문 뒤의 염소를 공개할 것이다.
이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 Y라고 기록한다.

(6) 여섯 번째의 경우는 다섯 번째의 경우와 비슷하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 Y라고 기록한다.

각각의 경우를 분석한 기록표에 Y가 네 개, N이 두 개임을 주시하라.
따라서 몬티 홀이 염소를 공개한 후에 선택을 바꾸면 2 대 1로 게임 참가자에게 유리하다.