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정신체조수학

사차원 정육면체(hypercube)

by mathpark 2014. 12. 15.

누구나 한 번쯤 사차원 세계에 대하여 상상해 본 경험이 있을 것이다. 물리학자들은 물론이고 수학자들도 당연히 사차원 공간에 대하여 궁금해 하였다. 그러나 불행하게도 우리는 사차원 세계를 직접 경험할 수 없다. 그렇다면 간접적으로 경험할 수 있는 방법은 없을까?


수학자들은 다음과 같은 아이디어를 생각해내었다. 정육면체(cube)에 빛을 비추어 평면에 사영(射影)을 시키면 아래의 오른쪽 그림과 같은 모양으로 나타난다.



즉, 삼차원 공간의 정육면체가 이차원 평면의 정사각형으로 나타내어지는 것이다. 이것을 다음과 같이 생각할 수 있다.


작은 정사각형의 네 변에 정사각형을 변형시킨 사다리꼴을 각각 붙여서 큰 정사각형을 만든다.


여기에서 정사각형을 정육면체로, 변을 면으로, 사다리꼴을 사각뿔대로 바꾸면 다음과 같은 문장으로 바뀐다.


작은 정육면체의 네 면에 정육면체를 변형시킨 사각뿔대를 각각 붙여서 큰 정육면체를 만든다.


이렇게 하면 아래의 그림과 같은 공간도형이 만들어진다. 수학자들은 이 도형을 사차원 정육면체(hypercube)를 삼차원 공간에 사영시킨 것으로 생각한다.



프랑스 파리에 있는 조형물인 신개선문 '그랑드 아르슈(Grande Arche)'는 사차원 정육면체를 소재로 하여 만든 것이다.




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