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아르키메데스6

아르키메데스의 실진법 그리스의 아르키메데스(Archimedes ; B.C. 287~ B.C. 212)는 역사상 가장 위대한 수학자의 한 사람인데, 가장 훌륭한 수학적 업적 중의 하나로 적분법의 연구를 꼽을 수 있다. 그는 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 그 안에 포함된 삼각형들의 넓이의 합으로 구하는 방법을 생각하였다. 예를 들어 포물선 과 축으로 둘러싸인 도형을 생각해보자. 위의 그림과 같이 꼭짓점 A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)인 삼각형 ABC의 넓이는 1이다. 또 두 점 과 에 대하여 이다. 또 네 점 , , , 에 대하여 다음이 성립한다. 아르키메데스는 이 도형 안에 삼각형이 아무리 많이 있더라도 위에서와 같이 각 삼각형마다 두 개의 새로운 삼각형을 넣을 수 있고, 이렇게 해서 증가하는 넓이는.. 2014.12.12
유휘의 할원술 중국의 위나라 사람인 유휘(劉徽, ?~?)는 263년에 의 주석을 썼는데, 이 책의 제1권 '방전(方田)'의 제31번과 제32번의 문제에 대한 주석에서 원주율의 근삿값을 구하는 일반적인 방법을 제시하였다. 유휘가 제1권 '방전' 제35, 36문의 활꼴 밭 문제에 대한 주석에서 제시했을 것이라고 청나라 산학자 대진(戴震, 1724~1777)이 추측한 그림 유휘는 원에 내접하는 정육각형의 변의 길이를 이용하여 그 원에 내접하는 정십이각형의 넓이를 구하고, 정십이각형의 변의 길이를 이용하여 정24각형의 넓이를 구하는 과정을 반복하여 정48각형, 정96각형, 정192각형의 넓이를 차례로 계산하였다.그 방법은 다음과 같다. 위의 그림에서 원O의 반지름의 길이를 이라 하고, 는 정각형의 한 변으로 이라 하자. 이제.. 2014.12.08
적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. 또, 그리스의 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)는 포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(method of exhaustion)으로 구하는 방법을 제시하였다.그는 아래의 그림과 같이 선분 AB와 평행한 포물선 위의 접선의 접점을 C라고 할 때, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 △ABC의 넓이의 4/3배가 됨을 보였다. 17세기의 .. 2014.09.02
Q.E.D. Q.E.D.는 라틴어 문장 "Quod erat demonstrandum"의 약자이다. 이것은 유클리드와 아르키메데스가 자주 쓰던 그리스어 문장 "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" (hóper édei deĩxai)를 라틴어로 옮긴 것으로, 직역하면 "이것이 보여져야 할 것이었다"가 된다. 이 약자는 수학에서 증명을 마칠 때 자주 사용한다. 현재는 증명의 마지막에 ■ (검은 네모 상자)를 붙인다. □ (흰 네모 상자)를 사용하는 경우도 있다. 유니코드 문자 중에는 "증명 종료" 문자로 ■ (U+220E)가 있다. 하지만 검은 네모 상자 ■ (U+25A0)와 ▶ (U+2023)으로도 사용할 수 있다. 영어권에서는 Q.E.D.를 "Quite Easily Done", "Quite Eloquently Done", .. 2013.04.09
아르키메데스의 발명품 포물선의 축에 평행하게 입사한 광선은 반사하여 포물선의 초점을 지나간다는 성질을 처음으로 이용한 사람은 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~ B.C.212)라고 한다.아르키메데스는 수학과 물리학을 이용하여 많은 발명품을 만들었다. 당시 아르키메데스의 고국인 시라쿠사는 로마에 끝까지 대항하였다. 이때 아르키메데스는 새로운 무기를 발명하여 수적인 열세를 극복하고 전투를 승리로 이끌기도 하였다.아르키메데스가 개발한 무기 가운데 하나는 대형 거울이었다. 포물면 모양으로 만들어진 이 대형 거울로 태양 빛을 모아 바다에 떠 있던 로마군의 배를 불태웠다고 전해져 내려온다. 아르키메데스가 이용한 포물선의 광학적 성질은 오늘날 태양열 발전이나 파라볼라 안테나 제작에 이용되고 있다. 포물면 거울을 이용하면 .. 2013.03.04
원주율의 계산 는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이에 비례하며, 이때의 비례상수, 즉를 원주율이라고 한다. 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다. 그는 원에 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정12각형, 정24각형, 정48각형을 그리고, 마침내 정96각형까지 같은 방법으로 그려냈다. 원의 둘레의 길이가 내접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 크고, .. 2012.11.13