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정신체조수학

푸리에 급수

by mathpark 2013. 4. 30.
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1822년 프랑스의 수학자 푸리에(Fourier, J. B. J. ; 1768~1830)는 세상의 어떤 복잡한 움직임이나 운동이라도 그것이 주기적이라면 삼각함수인 사인함수와 코사인함수로 이루어진 급수로 표현할 수 있다는 사실을 발견하였다.

 

 

예를 들어 어떤 주기적인 파형이 다음 그림과 같을 때, 이것은 간단히 사인함수와 코사인함수의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

이는 임의의 복합 파동을 단순 파동들의 합성으로 분석할 수 있다는 것을 뜻한다. 이러한 푸리에 급수의 원리는 복잡한 것을 간단한 요소로 분해하고 그것을 재구성하는 방식이라고 볼 수 있다. 좀 더 수학적으로 나타내면, 다음과 같은 식이 성립된다.

 

 

 

 

흔히 푸리에 급수의 예로 바이올린 소리의 파동을 이야기하는 경우가 있다.

바이올린 소리의 파동은 복잡한 파형을 이루고 있어 그것을 함수의 식으로 나타내는 것은 불가능해 보이지만, 사인함수와 코사인함수를 적절히 조합하면 가능하다. 이러한 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 화상 처리, 데이터 압축 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.

 

 

 

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