수학사10 수학사에 남을 '15번째 오각형' 발견 바닥면에 겹치거나 빈 틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다. 수학사의 한 쪽을 장식할 '사건'으로 평가받고 있는 이 발견의 주인공들은 미국 워싱턴 대학의 수학자들로, 학부생이 만든 컴퓨터 프로그램을 이용해 이 큰 발견을 이끌어낸 것이다. 이 발견이 있기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개가 발견된 상태였다. 마지막 종류는 1985년에야 발견되었는데, 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다. 이번에 15번째로 발견된 오각형은 부등변오각형으로, 5개의 변 중 두 개가 같을 뿐이다. 이 발견은 물리학에서 새로운 소립자를 발견한 것과 비슷한 것으로 수학계에 받아들여지고 있다고 연구진은 말한다. ▲ 바닥면에 겹치거나 빈 틈.. 2015. 8. 19. 원뿔곡선 이차곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 단면의 둘레로 나타나는 곡선이기도 하다. 이러한 뜻에서 이차곡선을 원뿔곡선이라고 한다. 원뿔곡선에 대한 연구는 기원전 4세기경 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 처음으로 원뿔곡선을 정의한 사람은 메나이크모스(Menaechmos ; ?B.C.375~?B.C.320)이고, 원뿔곡선의 이론을 크게 발전시킨 사람은 아폴로니오스(Apollonios ; ?B.C. 262~?B.C.190)이다. 메나이크모스는 아래의 그림과 같이 원뿔의 꼭짓점에서 각의 크기 α가 직각보다 작은 예각원뿔 [그림1], α가 직각인 직각원뿔 [그림2], α가 둔각인 둔각원뿔 [그림3]을 그 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 연구하였다. 아폴로니오스는 메나이크모스와 같이 여러 가지 원뿔.. 2014. 12. 26. 이차방정식의 역사 옛날 사람들이 이차방정식을 언제부터 알고 있었으며 어떻게 풀었는지에 대한 정확한 기록은 남아있지 않지만, 기원전 1800년을 전후해서 이미 간단한 이차방정식을 풀 수 있었던 것으로 짐작된다. 이 무렵 육십진법을 썼던 고대 바빌로니아 사람들은 이미 와 같은 이차방정식을 풀어서 과 같이 계산하였으며, 인 경우에 의 근을 와 같이 구했다고 한다. 지금과 같이 완전히 일반적인 경우는 아니지만 이차방정식의 근의 공식을 처음으로 찾은 사람은 인도의 수학자인 브라마굽타(Brahmagupta ; 598~670)인데, 628년에 그가 쓴 이라는 책에서 의 근을 와 같이 나타내었다. 지금과 같은 완전한 근의 공식은 12세기 인도 최고의 수학자였던 바스카라(Bhaskara ; 1114~1185)에 의하여 완성되었다. 이차방.. 2014. 12. 18. 케플러의 적분 독일의 천문학자 케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)는 천문학에서 행성의 세 가지 운동 법칙의 발견으로 주로 기억되고 있지만, 수학에서도 여러 가지 업적을 남겼다. 행성 운동의 제2 법칙은 '같은 시간에 행성과 태양을 연결하는 선분이 지나는 부분의 넓이는 서로 같다'라는 것이다. 현재와 같은 적분법이 탄생하기 전에 케플러는 이런 넓이를 자기 나름의 방법을 고안하여 계산했다고 한다. 이와 같은 행성 운동의 법칙이 발표된 이후 가장 먼저 제기된 의문은 왜 모든 행성이 타원 궤도를 그리면서 공전을 하느냐 하는 것이었다. 케플러는 그 이유가 태양과 행성 사이에 작용하는 인력 때문이라고 하면서, 인력은 태양과 행성 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 주장하였다. 케플러의 이와 같은 주장을 수학적으로 뒷.. 2014. 12. 11. 정규분포의 역사 정규분포(正規分布, normal distribution)에 대한 연구는 지난 수 세기에 걸쳐 이루어져 왔다. 프랑스의 수학자 라플라스(Laplace, P. S. ; 1749~1827)와 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855) 등에 의하여 수학적인 체계가 갖추어 졌으며, 이후 물리학, 천문학 분야의 여러 학자들에 의하여 실제 자료를 설명하는 데 정규분포가 유용함이 확인되었다. 정규분포가 모든 자료를 설명할 수 있는 것은 아니지만 여러 분야에 가장 널리 이용되고 있는 확률분포이다. 정규분포는 프랑스의 수학자 드무아브르(de Moivre, A. ; 1667~1754)의 1733년 논문에서 처음으로 도입되었다. 드무아브르는 이항분포에서 시행 횟수 n이 클 때 확률의 근삿값을 극한을 .. 2014. 12. 11. 마방진(魔方陣, Magic Square) 마방진(魔方陣)은 지금으로부터 4,200년 전 중국 하(夏)나라의 우왕(禹王) 시대의 전설에서 탄생됐다. 우왕은 잦은 홍수로 황하(黃河)가 범람할 때마다 황하의 지류인 낙수(洛水)도 함께 범람하는 것을 막기 위해 공사를 하고 있었다. 그러던 어느 해에 강의 한가운데서 큰 거북이 나타나서 잡았는데, 이 거북의 등에 신비한 점 무늬가 새겨져 있었다고 한다. 이상하게 여긴 우왕이 이 거북의 등에 새겨진 무늬에 대해 알아보게 하였는데 당시 사람들은 그 무늬를 하늘이 보내준 것으로 믿고 귀하게 여겨 '낙수에서 얻은 글'이라는 뜻으로 '낙서(洛書)'라고 이름 지었다. 거북의 등에 새겨진 그림은 1부터 9까지의 자연수를 점의 개수로 나타낸 것이고 가로, 세로, 대각선 각각의 숫자의 합이 모두 15이다. 이 수표는 네.. 2014. 12. 9. 유휘의 할원술 중국의 위나라 사람인 유휘(劉徽, ?~?)는 263년에 의 주석을 썼는데, 이 책의 제1권 '방전(方田)'의 제31번과 제32번의 문제에 대한 주석에서 원주율의 근삿값을 구하는 일반적인 방법을 제시하였다. 유휘가 제1권 '방전' 제35, 36문의 활꼴 밭 문제에 대한 주석에서 제시했을 것이라고 청나라 산학자 대진(戴震, 1724~1777)이 추측한 그림 유휘는 원에 내접하는 정육각형의 변의 길이를 이용하여 그 원에 내접하는 정십이각형의 넓이를 구하고, 정십이각형의 변의 길이를 이용하여 정24각형의 넓이를 구하는 과정을 반복하여 정48각형, 정96각형, 정192각형의 넓이를 차례로 계산하였다.그 방법은 다음과 같다. 위의 그림에서 원O의 반지름의 길이를 이라 하고, 는 정각형의 한 변으로 이라 하자. 이제.. 2014. 12. 8. 넓이와 부정적분 사이의 관계 함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까? 수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다. 배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다. 다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자. 여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다. 이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기 즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다. 따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에.. 2014. 9. 5. 적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. 또, 그리스의 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)는 포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(method of exhaustion)으로 구하는 방법을 제시하였다. 그는 아래의 그림과 같이 선분 AB와 평행한 포물선 위의 접선의 접점을 C라고 할 때, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 △ABC의 넓이의 4/3배가 됨을 보였다. 17세기의.. 2014. 9. 2. 수학사를 활용한 교재연구 - 가타노 젠이치로 ◆ 기능훈련적인 지도는 수학을 싫어하는 원인도 된다. 아집이 있는 학생들은 왜 이런 틀에 박힌 재미없는 연습을 해야 하는지 의문을 가져버려서 수학을 싫어하게 되는 것이다. 중학교에서 가르칠 때, 이차방정식의 해를 구하는 공식을 가르쳐주고 연습문제를 풀라고 하면, 학생 중에는 문제를 풀지 않고 노는 학생도 있다. "왜 안하니?"라고 물으면, 숫자를 공식에 대입하면 답이 나온다는 것을 알고 있기 때문에 할 필요가 없다고 답한다. 그는 성적이 좋은 학생이었다. 이러한 연습만 반복한다면, 수학에서는 모든 것이 결정적으로 분명하여 더 이상 새로운 사고가 들어갈 여지가 없는 것은 아닐까 하는 생각마저도 하게 된다. 그렇게 된다면 과학교육은 완전히 실패이다. ◆ 학생에게 요구되는 수학적 자질은 단순히 수학의 지식이나.. 2012. 12. 14. 이전 1 다음
