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정신체조수학243

원에 관한 여러 이야기 1. 둘레의 길이가 같은 평면도형 중 넓이가 가장 큰 것은 원이다. 지금으로부터 약 2800년 전 고대 그리스 시대, 페니키아의 폭군 피그말리온의 여동생인 디도 여왕은 폭정을 피해 국외로 망명하여 카르타고에 정착하게 되었다. 그곳의 원주민들은 디도 여왕에게 쇠가죽을 주며 그것으로 둘러쌀 수 있는 만큼의 땅만을 그녀에게 팔겠다고 하였다. 디도 여왕은 쇠가죽을 잘게 썰어 긴 끈으로 이은 다음 이 끈으로 땅의 경계를 만들었는데, 그녀가 만든 경계는 정사각형이 아니고 원이었다. 이것으로 보아 총명한 디도 여왕은 동일한 둘레를 가지는 평면도형 중 넓이가 최대인 것은 원이라는 수학적 사실을 경험을 통해서 알고 있었던 것으로 보인다. 이 이야기는 디도 여왕의 문제라고 하는데, 등주부등식의 역사를 말해 준다. 그러나 .. 2023. 8. 8.
삼각비의 어원과 탈레스 삼각법(trigonometry)이란 그리스어 trigon(삼각형)과 metria(측정)의 합성어이다. 이는 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기 등을 계산하는 것을 뜻한다. 삼각법에 사용되는 기호 sin, cos, tan는 각각 sine, cosine, tangent의 줄임말이다. 영어 sine은 라틴어 sinus에서 온 것으로 알려져 있다. sinus의 뜻은 매우 다양해서 길의 커브, 땅의 움푹 들어간 곳, 꼬불꼬불한 길 등을 비롯하여 해안의 만(灣), 가슴 등을 뜻하기도 한다. 본래 인도의 수학자 아리아바타는 사인에 해당하는 것을 ardha-jya 또는 jya-ardha라 하고, 이 단어를 줄여서 단지 jya라고 하였다. 이후에 아랍 사람들이 jya를 음역해서 jiba라는 단어를 만들어냈.. 2023. 7. 25.
통계의 허와 실 방대한 데이터를 그대로 방치하면 하나의 쓰레기와 같지만 데이터를 정리하여 자료로 요약하면 영향력을 가진 막강한 숫자로 작용하게 된다. 막강한 숫자로 이루어진 통계 자료는 객관성 있는 정보를 제공해 줌으로써 여러 가지 판단에 도움을 주는 이점이 있지만 자칫하면 거짓말을 정당화할 수 있는 수단으로 악용될 가능성이 많다. “숫자는 거짓말을 하지 않지만 거짓말쟁이는 그럴듯한 수치로 사람들을 현혹한다.”는 말이 있듯이 통계가 주는 이점에 반해 위험 요소도 참 많다. 이를 대변이라도 하듯이 일찍이 영국 총리를 지낸 벤저민 디즈테일리는 “세상에는 세 가지 거짓말이 있다. 거짓말, 새빨간 거짓말, 그리고 통계.”라는 말을 했고, ‘통계라는 이름의 거짓말’이라는 책의 서문에는 “통계는 신용을 잃었다.”는 말이 나온다. .. 2023. 2. 27.
제논의 역설 그리스 철학자 제논(BC 490?~BC 430?)은 그 당시 반박하기 어려운 여러 가지 역설을 내놓아 많은 사람들을 당황하게 만들었다. 시간이 흐를수록 그의 주장이 틀렸다는 것을 알게 되었지만 그의 논증 중 어느 부분이 잘못된 것인지 반박하기는 쉽지 않은 일이었다. 제논이 내놓은 역설 중 유명한 역설 3가지를 소개하니 읽어 보고 어디가 잘못된 것인지 생각해 보자. 참고로 고등학교 수학에서 배우는 무한의 개념을 떠올려 보길 바란다. (1) 아무리 빨라도 따라잡을 수 없는 거북 – 아킬레우스와 거북 그리스 신화에 나오는 아킬레우스가 거북의 10m 뒤에서 거북의 10배의 속력으로 달리기를 하고 있다고 하자. 그럼 아킬레우스가 10m를 갈 때, 거북은 11m 위치에 있을 것이고, 다음번에 아킬레우스가 11.1m.. 2023. 2. 24.
지수와 로그의 실생활에서의 활용 자연 현상이나 사회 현상 중에는 시간, 거리 등에 따라 증가하거나 감소하는 변화 현상이 많이 있는데, 이러한 현상을 수학적으로 표현할 수 있는 수단이 보통 지수함수와 로그함수이다. 따라서 자연과학이나 경제학, 사회학 등 수학의 여러 응용 분야에서 지수함수와 로그함수는 매우 유용한 연구 도구로 이용되고 있다. (1) 지수의 실생활에서의 활용 '인구론'으로 알려진 영국의 경제학자 맬서스는 1798년에 "세계 인구는 기하급수적으로 늘어나는데 식량 생산은 산술급수적으로 늘어나기 때문에 이로 인해 전 세계는 식량난에 닥칠 것이다."라고 말하였다. 맬서스가 제시한 지수성장모형(exponential growth model)은 현재 인구를 P0, 시각 t에서의 인구를 P(t)라 하면, 식은 이고, 그래프의 개형은 아래.. 2023. 1. 4.
뉴턴의 다항식 보간법 세 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수를 구해야 할 때 우리가 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 풀이 방법은 다음과 같다. 이와 같이 그래프가 (n+1)개의 점을 지나는 n차 다항함수의 정확한 식을 얻는 방법을 ‘다항식 보간법(Polynomial interpolation)’이라 한다. 다항식 보간법은 주어진 몇 개의 점을 지나는 곡선을 그래프로 갖는 다항함수를 구해 그 점들 사이의 알려지지 않은 값들을 추정하기 위한 방법으로 ‘수치해석’이라는 수학 분야에서 활용된다. 그런데 이러한 보간법이 그다지 특별해 보이지는 않는다. 단순히 연립일차방정식을 반복해서 푸는 과정이므로. 하지만 학생들이 고통받지 않도록 출제자가 숫자를 잘 다듬어 내놓는 인위적인 상황이.. 2023. 1. 2.
도형을 이용한 부등식의 증명 대표적인 절대부등식 세 가지 즉, (1) 삼각부등식, (2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계, (3) 코시-슈바르츠의 부등식은 일반적으로 실수의 성질을 이용하여 증명할 수 있다. 또한 이러한 부등식이 성립함을 도형을 이용하여 직관적으로 이해할 수도 있다. 하나씩 살펴보도록 하자. (1) 삼각부등식의 증명 방향을 고려하여 움직일 때, 수직선에서의 '실제 이동 거리와 변위(출발 지점과 도착 지점 사이의 거리)'로 삼각부등식이 성립함을 이해할 수 있다. (2) 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계의 증명 두 양수 a, b(a>b)에 대하여 a+b를 지름으로 하는 반원을 그려 보면 직관적으로 이해하기 쉽다. (3) 코시-슈바르츠의 부등식의 증명 삼각형의 성질을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 2022. 12. 26.
소수(prime number)의 무한성 증명 소수(prime number)가 무한히 많음을 증명해 보자. 귀류법(reductio ad absurdum)을 이용한다. 이 방법은 약 2000년 전 유클리드가 《원론》에서 소개한 증명이다. 2022. 12. 26.
대수학의 기본 정리 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 수학자 가우스(1777~1855)에 의해 처음으로 (비교적 엄밀히) 증명되었다. 가우스에 의해 증명된 대수학의 기본 정리는 다음과 같다.(여기서 n차방정식은 한 문자에 대한 n차 다항방정식을 가리킨다고 약속하자.) · 대수학의 기본 정리 복소수 계수의 n차방정식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다.(단, n은 자연수) 거창해 보이는 이름에 비하면 정리 자체는 별 내용도 없는 것처럼 보인다. 하지만 이를 증명하기 위해 많은 수학자의 시도와 실패가 있었다. 그러던 중 1799년 가우스가 박사 학위 논문에서 최초로 이 정리를 증명하였고, 이를 바탕으로 대수학의 기존 정리는 다른 정리들과 합쳐져서 다음과 같은 강력한 사실을 알려주었다.. 2022. 12. 23.
이차방정식의 근과 복소수의 탄생 문자가 들어 있는 식 가운데 가장 중요한 것이 방정식이다. 방정식의 종류는 여러 가지인데 최고차항의 차수에 따라 1, 2차방정식 등이라 부르고, 여러 방정식을 동시에 고려할 경우 연립방정식이라 한다. 이들 방정식과 연립방정식을 구하는 일은 역사적으로 끊임없이 연구되고 계속적으로 발전되어 왔다. 실제 문제를 푸는 데 어떤 수라는 말 대신 x와 같은 문자를 사용하여 푸는 방법을 도입한 사람은 그리스의 대수학자 디오판토스(246~330)로 그는 대수학을 수학의 정상에 올려놓았다. 그의 책 「산수론(Arithmetica)」은 대수학에서의 ‘유클리드 기하학 원론’으로 비유되고 있다. 그의 묘비에 새겨진 다음과 같은 비문은 그가 생각해 낸 미지수를 이용한 일차방정식의 풀이를 이용하면 그 해답을 쉽게 구할 수 있다... 2022. 12. 19.
기수법과 다항식의 표현 (1) 기수법(numeral system)이란 ‘기수법’이란, 기호(symbol)를 이용해 수를 표현하는 체계적인 방법을 말한다. 가장 단순한 기수법에는 1에 해당하는 수를 ‘/’와 같은 기호로 표기하고, 1보다 큰 수에 대해서는 기호 ‘/’의 개수로 나타내는 ‘단항기수법(unary numeral system)’이 있다. 일상생활에서 단항기수법은 수를 보다 읽기 쉽도록 위치와 모양을 변형해 다섯 개의 ‘/’을 하나의 기호처럼 보이도록 한다. 아래의 그림과 같은 것인데 이는 학급임원 선거 때 한 번쯤 써보았을 것이다. 단항기수법의 원리상 기호 ‘/’의 위치는 전혀 고려되지 않는데 이러한 성질을 가진 기수법을 ‘비(非)자릿수 기수법’이라 한다. 반면, 기호를 나열하여 수를 나타내되 위치에 따라 기호가 나타내.. 2022. 12. 17.
어떻게 나눌까? 등산객 3명이 우연히 산꼭대기에서 만났다. 점심때가 되어 C가 말했다. "식사 시간이 되었는데 난 먹을 것을 안 가져왔소. 돈만 가져와 어디서 사 먹으려고 했는데 이 산꼭대기에서 사 먹을 곳이 없군요. 그러니 두 분께서 좀 도와주시죠?" "그러죠. 집을 나서면 다 친구인데." A와 B가 흔쾌히 대답했다. A는 빵을 5개 가져왔고, B는 빵을 3개 가져왔다. 세 사람은 그 빵을 골고루 나누어 먹었다. 식사를 마치고 나서 C는 고맙다며 A와 B에게 8원을 내놓았다. 당연히 A가 5원을 호주머니에 넣었고 나머지 3원은 B가 챙겼다. 여러분은 이렇게 나누어 가지는 것이 과연 합당하다고 생각하는가? 더보기 꼼꼼이 따져보면 이렇게 나누는 방법이 합리적이지 않음을 알 수 있다. 세 사람이 빵 8개를 나누어 먹었으므로.. 2021. 11. 12.
적분의 실생활 활용 [3D 프린터] 일반적으로 프린터는 컴퓨터에 나타난 글자나 그림을 종이에 그리는 기계를 의미한다. 그런데 이제는 컴퓨터에 나타난 3차원 설계도를 3D 프린터로 구현할 수 있다. 3D 프린터는 1984년 미국의 3D 시스템즈사가 플라스틱 액체를 굳혀 물건을 만드는 프린터를 세계 최초로 개발하면서 그 역사가 시작됐다. 최근 3D 프린팅 기술의 특허가 만료되면서 누구나 쉽게 기술을 사용할 수 있게 되었기 때문에 연구가 활발히 진행되자 사람들의 관심을 끄는 연구도 나오게 된 것이다. 3D 프린터로 만든 제품을 만져보면 겉표면이 거칠거칠하다. 한 층씩 쌓아 올리는 방식으로 만들어서 그렇다. 3차원 제품을 가로축을 기준으로 2차원 평면이 되도록 잘게 쪼갠 다음, 아래에서부터 한 층 한 층 쌓아 올린 것이다. 이런 .. 2020. 8. 28.
미분의 발명과 분쟁 1675년에 독일의 저명한 철학자이자 수학자인 라이프니츠는 『분수에도, 무리수에도, 장애 없이 적용할 수 있는, 극대와 극소, 또한 접선에 대한 새로운 방법, 그리고 그것을 위한 특이한 계산법』이라는 긴 제목의 수학 논문을 발표하였는데, 이것이 미분학의 발명을 둘러싼 논쟁의 시발점이 되었다. 라이프니츠가 이 논문을 발표하기 10년 전, 이미 미분을 아이작 뉴턴이 알고 있었다. 뉴턴은 타원이 회전할 때 순간의 속도를 유율이라 정의하였는데 이것이 미분의 개념이다. 그는 이러한 개념을 동료의 권유로 책으로 출판하려 했지만 조금 미루다 결국 라이프니츠가 먼저 미분을 발표하게 된 것이다. 영국의 수학자들은 뉴턴이 미분의 창시자라고 생각했지만, 라이프니츠의 추종자들은 뉴턴이 그의 이론을 표절한 것이라 생각했다. 그.. 2020. 8. 25.
생활 속의 미분 활용 [무인 단속 카메라] 고정식 무인카메라는 일종의 감지선으로 카메라 전방 20~30m 앞에 사각형으로 그려져 있는 루프 방식이다. 도로에 속도를 읽는 센서를 내장한 두 줄의 루프를 깔고, 그 사이를 지나는 차의 '시간'을 측정해 '속력'으로 환산하는 것이다. '속력=거리÷시간'이라는 공식에 따라 센서값의 평균변화율을 계산하여 과속이 인지되면 곧바로 카메라 플래시가 번쩍 터지면서 사진을 찍게 되는 원리로 되어 있다. [애니메이션] 물의 움직임을 나타내는 시뮬레이션은 유체역학 이론을 기초로 한다. 공기나 물의 흐름을 설명할 수 있는 미분방정식의 일종인 '나비에-스토크스 방정식'이 설계의 기본이다. '나비에-스토크스 방정식'은 백만 달러의 상금이 걸려 있는 세계 7대 수학 난제 중 하나이다. 아직 방정식의 해를.. 2020. 8. 24.
극한의 엄밀한 정의 미적분을 공부하다 보면 코시라는 수학자의 이름을 자주 듣게 된다. 특히 '코시-슈바르츠의 부등식'을 알고 있는 사람이면 코시라는 수학자의 이름을 이미 들어 봤을 것이다. 그는 수학과 물리학에 업적이 많다. 특히 극한이라는 개념의 엄밀한 정의를 만드는데 기초를 마련한 사람이다. 또한 과학아카데미에서 논문의 분량을 4페이지로 제한한 이유가 코시의 논문 양이 매우 많아서였기 때문이었다고 하는 웃지 못할 일화의 주인공이기도 하다. 코시는 프랑스 혁명 시기에 파리에서 태어났다. 정치적 혼란으로 인해 자주 이사를 했기 때문에 아버지에게 교육을 받았다. 그런데 당대 최고의 수학자인 라플라스와 라그랑주에게 재능을 인정받아 그들은 그에게 수학 공부를 권유하게 되었다. 1805년에 에콜 폴리테크니크에 입학하여 공학을 전공.. 2020. 8. 23.
테셀레이션의 아버지 Escher M.C. Escher는 네덜란드 출신의 판화가이다. 그의 작품들은 동일한 모양을 이용해 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 완전하게 덮는 '테셀레이션(Tessellation)'이라는 독특한 분야에 일가견이 있는 사람이었다. 단순한 기하학적 무늬에서 수학적 변환을 통한 반사, 미끄럼 반사, 평행이동, 회전의 기법을 이용해 정삼각형, 정사각형, 정육각형을 변형하여 동물, 새, 도마뱀, 개, 나비, 사람 등의 여러 형태로 변형시켰다. 그의 작품 가운데 『원형극한Ⅲ』은 테셀레이션의 기법을 이용하여 반복되는 그림의 극한을 잘 보여주고 있다. 그리고 『뫼비우스의 띠Ⅱ』에서 안과 밖이 구별되지 않는 뫼비우스의 띠를 무한히 반복되는 개미들의 행진으로 보여주고 있다. 그는 폴리아라는 수학자가 스케치한 17개의 벽지 디자.. 2020. 8. 21.
톨스토이 문제 러시아의 대문호 톨스토이는 어려운 문제를 즐겨서 풀었지만 늘 교묘한 방법으로 풀어서 주위를 깜짝 놀라게 했다. 다음은 그가 낸 문제이다. 농부들이 밭 두 뙈기의 풀을 베려고 한다. 그 중 한 풀밭은 다른 풀밭의 넓이의 2배라고 한다. 농부들은 큰 풀밭에서 반나절 동안 풀을 벤 다음, 두 조로 나누어 절반은 계속 큰 풀밭에서 풀을 베고 나머지 절반은 작은 풀밭에서 풀을 벤다고 한다. 저녁 무렵에 큰 풀밭의 풀은 다 벴는데 작은 풀밭은 아직도 풀이 남아 있었다. 이튿날 어제 벴던 농부 중 한 사람을 다시 보내서 작은 풀밭을 베게 했는데 하루가 걸렸다. 풀을 벤 농부의 수는 모두 몇 명이었나? 농부들의 풀을 베는 능력은 같은 것으로 하자. 톨스토이는 그림을 그려가면서 농부의 수를 구했다. 전체 농부들이 반나절.. 2020. 8. 8.
GPS와 삼각함수 위성에서 보내는 신호를 수신해 사용자의 현재 위치를 알려주는 시스템인 GPS(Global Positioning System)는 1970년대 폭격의 정확성을 높이기 위해 미국 국방성에서 최초로 개발한 것이다. 실제로는 인공위성이 알려주는 건 장소가 아니라 인공위성 자신의 위치와 현재 시간이다. GPS 수신기는 어떻게 자신의 위치를 알게 될까? GPS 수신기를 이용하여 자신의 위치를 알 수 있게 하는 원리 속에는 삼각함수의 개념이 들어가 있다. 흔히 인공위성이 자신의 위치를 GPS 수신기에 가르쳐 준다고 알고 있다. 하지만 인공위성은 각자의 위치를 가르쳐 줄 수 있는 것이 아니라 인공위성 자신의 위치와 시간을 GPS 수신기에 가르쳐 주고 있는 것이다. 정확히 GPS의 원리는 위성과의 거리를 측정하는 데 있다.. 2020. 8. 7.
생활 속 지수와 로그 [반감기] 2011년 일본 후쿠시마에서는 지진해일로 원전이 부서져 많은 오염수와 방사능의 누출이 있었다. 원자로의 핵연료로 사용하는 우라늄(U-235)이 붕괴하면 플루토늄, 세슘, 스트론튬, 아이오딘, 삼중수소 등의 방사성 원소들이 만들어진다. 이 방사성 원소들에게는 반감기가 있다. 반감기란 방사성 원소가 반으로 붕괴되는 시간을 나타낸다. 그런데 방사성 원소가 반으로 줄어드는데 시간이 일정하다는 특성이 있다. 예를 들어 100g의 방사성 원소가 50g으로 줄어드는데 4시간이 걸렸다면 50g에서 25g으로 줄어드는 데도 4시간이 걸린다. 다시 25g이 12.5g으로 줄어드는 시간도 4시간이다. 이렇게 절반으로 줄어드는데 걸리는 시간이 일정한 경우를 '지수함수적 붕괴'라고 한다. [베버-페히너의 법칙] 독일.. 2020. 8. 7.
생활 속에 숨어 있는 함수 1. 무더운 여름철 방송에서 "오늘은 불쾌지수가 77 정도로 약 50%의 사람들이 짜증스러움을 느끼므로, 조금만 감정을 다스려 편안한 하루를 보내시길 바랍니다."라고 보도하는 것을 듣는다. 다음은 불쾌지수에 따라 불편함을 느끼는 사람들의 비율이다. 68 미만 : 0% 68~75 : 10% 75~80 : 50% 80~86 : 90% 86 이상 : 100% 불쾌지수란 온도와 습도에 관한 함수이다. 불쾌지수 계산은 다음과 같이 구한다. 건습계의 건구 온도계와 습구 온도계가 나타내는 온도를 각각 K, S라고 하면, 불쾌지수(u)는 u=(K+S)×0.72+40.6 으로 정의된다. 2. 간식 값 내기, 벌칙 정하기, 데이트 상대 정하기 등을 할 때, 자주 이용되는 것이 사다리타기 게임이다. 사다리타기 게임에서 어떤.. 2020. 8. 3.
페르마의 마지막정리 다음의 정리를 『페르마(Fermat)의 대정리』 혹은 『Fermat의 마지막정리』라고 한다. 페르마는 직업적인 수학자가 아니라, 툴르즈 지방 의회에 소속된 법률가이자 치안 판사였다. 그는 수학에 대한 정규 교육을 받은 적도 없었지만, 수학에 강렬한 애착을 갖게 되었다. 그는 자신의 생존 기간 중 수학에 대해 사실상 아무 것도 출판하지 않았다. 그러나 그는 당시의 위대한 수학자들과 매우 많은 서신 왕래를 하였다. 이 유명한 마지막정리의 형식화에 이르는 과정은 매우 흥미롭다. 1453년 콘스탄티노플이 터키에 의해 함락되었을 때 비잔틴 학자들은 고대 그리스 문헌을 갖고 서유럽으로 피신했다. 그 중에는 당시까지 보관되던 디오판토스의 산학(arithemetica)이 있었다. 이 책은 후에 1621년 중 그리스 문.. 2020. 7. 16.
세상의 모든 공식 - 존 M. 헨쇼 ◆ 세상에는 오로지 10가지 인간이 존재할 뿐이다. 이진법을 아는 인간과 그렇지 못한 인간. ◆ π와 관련된 경쟁은 또 있다. 이 경쟁은 더 오싹하다. 여기에는 귀와 귀 사이의 피와 살로 된 컴퓨터가 동원된다. 바로 π값 외우기 경쟁이다. 기록이 꾸준히 갱신된 끝에, 현재 기록보유자는 6만 7,890자릿수까지 외워서 기네스북에 오른 어떤 중국인이다. 이 사람은 총 24시간 4분에 걸쳐서, 숫자 하나당 1.28초의 속도로, π를 6만 7,890자리까지 한 번도 틀리지 않고 암송했다. ◆ 수학자 겸 작가 데이비드 웰스(David Wells)가 수학공식의 아름다움을 평가하는 나름의 판단기준을 제시했다. 웰스에 따르면, 아름다운 수학공식의 조건은 단순함, 간결함, 중요성, 놀라움이다. 오일러 항등식(Euler'.. 2019. 11. 5.
니니오의 소멸 착시 프랑스 과학자 '자크 니니오'가 지난 2000년 에 대해 발표하면서 이를 그림으로 나타낸 것이다. '니니오의 소멸 착시'라 불리는 이 그림은 흰 바탕에 회색 선이 격자무늬로 그려져 있고, 선이 겹치는 부분에 총 12개의 검은 점이 찍혀있다. 그림 속에 그려진 점은 총 12개지만, 일반인이 이 그림을 바라봤을 때 인식할 수 있는 점의 개수는 4개에 불과하다. 일종의 착시 현상인데, 한 점에 초점을 맞추면 주변 점 1개에서 3개 가량이 추가로 인식될 뿐 멀리 위치한 점들은 즉시 사라지는 것처럼 보인다. 니니오 박사, "불규칙적인 클러스터에서는 한 번에 인식할 수 있는 것에 한계가 있다. 분명 점은 사라지지 않지만, 마치 사라진 것처럼 인지한다" 2018. 10. 24.
2015 개정 고등수학 교육과정 2018년 고1부터 적용되는 개정 고등수학 교육과정을 정리했습니다. 아래에 첨부된 PDF 파일을 다운받아 보시면 됩니다. 개정 후 주요과정은 다음과 같습니다. ◆ 공통(고1) : 수학(상), 수학(하) ◆ 일반선택과목 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계 ◆ 진로선택과목 : 경제수학, 기하, 실용수학, 수학과제 탐구 2017. 10. 13.
수학사에 남을 '15번째 오각형' 발견 바닥면에 겹치거나 빈 틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다. 수학사의 한 쪽을 장식할 '사건'으로 평가받고 있는 이 발견의 주인공들은 미국 워싱턴 대학의 수학자들로, 학부생이 만든 컴퓨터 프로그램을 이용해 이 큰 발견을 이끌어낸 것이다. 이 발견이 있기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개가 발견된 상태였다. 마지막 종류는 1985년에야 발견되었는데, 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다. 이번에 15번째로 발견된 오각형은 부등변오각형으로, 5개의 변 중 두 개가 같을 뿐이다. 이 발견은 물리학에서 새로운 소립자를 발견한 것과 비슷한 것으로 수학계에 받아들여지고 있다고 연구진은 말한다. ▲ 바닥면에 겹치거나 빈 틈.. 2015. 8. 19.
비에타의 방법 프랑스 앙리 4세의 궁정 고문관이며 수학자인 프랑수아 비에타(1540~1603)는 대수적 표기법을 개선하는 결정적인 단계를 밟았다. 유클리드 시대 이래로, 문자는 방정식에 들어갈 양을 나타내는 데 사용되었으나 찾아야 할 '미지(未知)의 양'과 알고 있다고 가정된 '기지(旣知)의 양'을 구별하는 방법은 없었다. 비에타는 알파벳의 대문자 중 모음은 현재 변수라 부르는 '미지의 양'을 나타내고, 자음은 주어진 것으로 가정된 '기지의 양'을 나타내자고 제안하였다. 간단하지만, 이런 관례는 계수가 지정된 수인 특정한 예를 다루어야만 했던 대수학을 해방시키는 엄청난 결과를 초래했다. 비에타의 문자 표기법이 도입되기 전에는 특정한 방정식에만 관심을 두어야 했다. 즉, 또는 과 같은 개별적인 방정식에 대한 그 자체의 .. 2015. 6. 30.
연분수를 이용한 증명 연분수란, 주어진 수를 '정수부분과 소수부분으로 나눈 뒤, 소수부분이이 아닐 경우 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나누는 과정'을 반복하여 얻는 식을 말한다.예를 들어, 유리수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나타내자. 그럼이고 소수부분의 역수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분이이므로를 연분수로 나타내면이 된다. 이와 같이 유리수를 연분수로 나타내는 과정에 등장하는 소수부분의 분모와 분자가 위의 과정을 거치면서 작아지기 때문에 어떤 유리수든지 위의 과정을 유한 번 적용하면 소수부분이 이 나오게 된다.하지만 가령를 연분수로 나타내어 보면이므로의 정수부분은이고 소수부분은이다. 소수부분 의 역수을 다시 정수부분과 소수부분으로 나누면이므.. 2015. 6. 30.
신기한 착시현상 #07 가운데 점을 보고 고개를 앞뒤로 천천히 움직여보세요. 2015. 6. 9.
리틀우드의 문제 가장 큰 자리의 숫자를 일의 자리로 옮겨서 만든 수가 원래 수의 배가 되는 자연수 중에서 가장 작은 자연수를 구하여라. Hint : 순환소수를 이용한다. 구하는 자연수를 이라 하면 문제의 조건에서 이 성립한다. 을 순환마디로 하는 순환소수를 생각하면, 이때 가장 작은 수는 일 때이므로 따라서 구하는 가장 작은 자연수는 이다. 리틀우드(John Edensor Littlewood ; 1885–1977) : 잉글랜드의 수학자 2015. 5. 19.

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