넓이와 부정적분 사이의 관계

함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다.
그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까?
수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다.
배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다.

다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자.

여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다.
이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다.
접선의 기울기
즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다.
따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에서의 넓이는 구간의 양 끝점을 넓이 함수에 대입하여 빼면 된다. 즉, 이다.
이러한 배로의 증명은 그의 제자인 뉴턴이 계산적 미적분학을 체계화하는 데 출발점이 되었다.