타일 깔기

 

 

가로 세로가 각각 8인 정사각형 모양의 욕실 바닥에 가로가 2 세로가 1인 직사각형 모양의 타일을 깔려고 합니다.
그런데 이 욕실은 왼쪽 상단 귀퉁이엔 변기가 있고, 오른쪽 하단 귀퉁이엔 하수구가 있어서 변기가 있는 곳과 하수구가 있는 곳엔 타일을 깔지 못합니다.
그러나 이렇게 저렇게 깔아봐도 빈틈없이 다 메워지지 않는데요, 어떻게 하면 빈틈없이 욕실 바닥을 다 메울 수 있을까요?
타일을 빈틈없이 다 깔 수 있다면 그 방법을 소개하고 타일을 빈틈없이 깔 수 없다면 왜 그런지 설명해 보세요.

 

 

빈틈없이 타일을 다 메울 수는 없습니다.

욕실 바닥을 정사각형 모양으로 나눈 뒤, 체스판 모양으로 색칠하게 되면 타일을 한 장 깔 때마다 반드시 검정색 부분과 흰색 부분이 하나씩 덮이게 되지요.
즉 타일을 빈틈없이 다 메우려면 반드시 검정색 부분과 흰색 부분의 개수가 같아야 합니다.
그런데 그림에서 보듯, 검정색 부분은 30곳, 흰색 부분은 32곳이므로 어떠한 방식으로 욕실 바닥을 덮든, 욕실 바닥을 빈틈없이 다 메우는 것은 불가능하지요.

- Steven G. Krantz <문제 해결의 수학적 전략> 中