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수학이야기116

아벨의 장난 아벨(Abel, N. H. ; 1802~1829)은 1802년 노르웨이의 핀드에서 시골 목사의 아들로 태어났다. 아벨이 18세였던 1820년에 아벨의 아버지는 48세의 나이로 죽었다. 그래서 어머니와 여섯 명의 형제들을 보살펴야할 책임이 그에게 주어졌고, 가난은 평생 그를 따라다녔다. 아벨은 홀름보에 선생님을 만나면서부터 천재성을 발휘하였고, 가난했지만 수학을 더 공부하기 위하여 대학에 입학했다. 아벨은 대학생이 되어서도 끼니를 굶어가며 열심히 공부하여 대수학에서 뛰어난 업적을 이루었다. 그의 많은 업적 중 하나는 5차 대수방정식 의 근을 일반적으로 구하는 공식은 없다는 것을 증명한 것이다. 유명한 수학자 에르미트는 아벨의 업적에 대하여 "그가 남긴 업적은 앞으로 500년 간 수학자들을 바쁘게 할 것이다.. 2014. 12. 5.
해밀턴의 세계 일주 게임 19세기 영국의 수학자 해밀턴은 그래프와 관련된 여러 가지 재미있는 문제를 제기하였는데 그 중에는 아직까지 완전히 해결되지 않은 문제도 있다. '세계 일주 게임'은 그가 1857년에 소개한 것으로, 정십이면체의 20개의 각 꼭짓점에 세계의 유명한 도시의 이름을 붙인 후, 어느 한 도시를 출발하여 모서리를 따라 다른 도시를 모두 방문하고 처음 도시로 돌아오는 게임이다. 이때, 한 번 방문한 도시는 다시 방문하지 않는다. 해밀턴은 정십이면체를 평면그래프로 나타내어 이 문제를 다음 그림과 같이 해결하였다. 위의 게임에서와 같이 같은 길을 지나지 않고 주어진 그래프 상의 점을 모두 한 번씩 지나서 출발점으로 돌아올 수 있는 길을 '해밀턴 폐쇄로'라고 한다. 해밀턴 폐쇄로 문제는 '어떤 경우에 해밀턴 폐쇄로가 있.. 2014. 12. 5.
심슨의 역설(Simpson's Paradox) 영국의 통계학자인 심슨(Simpson, E. ; 1910~1961)은 1951년에 여러 개의 그룹을 합쳐 놓았을 때 각 그룹의 우열 관계가 뒤바뀌는 현상에 대하여 주목하였다. 예를 들어 새로 나온 어떤 약이 남녀 모두에게 이전의 약보다 더 좋은 효능을 보인다. 그러나 그 약은 전체적으로 볼 때 효능이 더 떨어진다. 혹은 어떤 회사는 직원을 채용할 때 남자보다 여자를 선호한다. 그러나 전체적으로 볼 때 여성의 채용 비율이 남성에 비하여 더 낮다. 이와 같이 동일하지 않은 가중치를 적용함에 따라 부분에 대한 분석 결과와 전체에 대한 분석 결과가 일치하지 않는 현상을 '심슨의 역설(Simpson's Paradox)'이라고 한다. 어느 대학에서 신입생의 합격률(지원자 수에 대한 합격자 수의 비율)을 조사한 결과.. 2014. 12. 5.
티티우스 수열 국제천문연맹(IAU)은 2006년 8월 24일 IAU 총회에서 태양계 안에 있는 천체에 국한하여 행성을 다음과 같이 정의하였다. 1. 태양 주위를 돈다. 2. 충분한 질량을 가져서 정역학적 평형을 이루며, 구형에 가까운 형태를 가지고 있다. 3. 주변 궤도의 천체에서 지배적인 위치를 차지한다. 이 조건을 모두 만족시키는 태양계의 행성은 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성의 여덟 개이다. 그러나 이전까지 행성으로 분류되었던 명왕성은 세 번째 조건을 만족시키지 못하므로 행성이 아닌 왜소행성으로 분류되었다. 1766년 독일의 천문학자 티티우스(Titius, J. D. ; 1729∼1796)는 수열을 이용하여 그때까지 발견된 행성인 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성과 태양 사이의 .. 2014. 12. 1.
도형수(figulate number)와 계차수열 다음 그림과 같이 ●를 늘어놓으면 각각의 ●의 개수로 수열이 이루어진다. 이때, 정삼각형이 되는 수를 '삼각수', 정사각형이 되는 수를 '사각수', 정오각형이 되는 수를 '오각수', …라고 한다. 각각의 수열의 일반항 을 계차수열을 이용하여 구할 수 있다. 삼각수의 일반항 : 사각수의 일반항 : 오각수의 일반항 : 육각수의 일반항 : 2014. 12. 1.
세균의 유전자와 분열 인간의 모든 유전자를 해독하기 위해 1980년대 말에 시작된 인간 게놈(genom) 프로젝트가 2003년에 완성되어 생물학은 일대 혁명기를 맞이하고 있다. 인간의 복잡한 유전자 지도가 완성됨에 따라 개인마다 최대 약효가 나타나도록 약의 용량을 조절하거나 질병을 조기 진단하여 예방하고, 나아가 결손이 생긴 유전자를 정상적인 유전자로 바꾸어 놓는 유전자 치료도 할 수 있을 것으로 예상된다. 인간의 유전자는 23쌍의 염색체 속에 있는 약 30억 쌍의 염기로 구성되어 있다. 그러나 인간과는 달리 단세포 생물인 세균은 하나의 염색체를 가지며, 유전자들은 하나의 커다란 DNA 분자에 암호화되어 있다. 대부분의 세균은 대장균의 염색체와 비슷한 크기의 염색체를 가진다. 세균은 배양하기가 쉽고 배양 속도가 빠르기 때문에.. 2014. 12. 1.
별의 밝기 5월의 밤하늘에서는 국자 모양의 별자리인 북두칠성(Big Dipper)을 찾을 수 있다. 북두칠성은 큰곰자리의 꼬리를 이루는 일곱 개의 별이며 인간의 수명을 관장하는 별자리로 알려져 있다. 북두칠성은 눈으로 쉽게 찾을 수 있는 2등성 내외의 별들로 북극성의 위치를 알려주기도 하므로 옛날부터 항해하는 사람들에게 친근한 별이기도 하다. 기원전 그리스의 히파르코스(Hipparchos ; ?∼?B.C.125)는 눈으로 보이는 별들을 밝기에 따라 가장 밝은 별(1등성)에서 가장 어두운 별(6등성)까지 6등급으로 분류하였다. 그 후에 1등성의 밝기는 6등성의 밝기의 약 100배임을 알게 되었다. 따라서 각 등급 간의 밝기의 비가 일정하다면, 별의 등급이 1등급 작아질 때마다 별의 밝기는 배 밝아지게 된다. 1856.. 2014. 12. 1.
로그의 역사 17세기 초 망원경의 발명으로 천문학, 항해술, 삼각법이 급속히 발달하였고, 이에 따라 방대하고도 복잡한 천문학상의 계산을 하기 위해 새로운 계산 기술이 절실히 요구되었다. 이러한 시대적인 요구에 따라 네이피어는 새로운 계산 방법인 로그를 발명하였다. 로그의 개념을 쓰면 크고 복잡한 곱셈 문제를 간단한 덧셈 문제로 바꿀 수 있기 때문에 라플라스(Laplace, P. S. ; 1749∼1827)가 “천문학자의 수고를 덜어줌으로써 그들의 수명을 두 배로 늘렸다.”라고 말했을 정도로, 로그의 발명은 수학사에 길이 남는 매우 획기적인 것이었다. 네이피어가 정의한 로그의 개념은 다음과 같다. 아래의 그림과 같이 선분 AB와 반직선 CD에서 점 P와 점 Q가 동시에 점 A와 점 C를 각각 출발하여 움직일 때, 점 .. 2014. 11. 28.
카발리에리의 원리 카발리에리는 이탈리아 예수아티(Jesuati)의 수도사이자 수학자였다. 처음에는 종교 교육을 받았으나 갈릴레이의 제자 카스텔리(Benedetto Castelli)를 통해 수학을 알게 된 뒤 밀라노와 파르마 등의 수도원에서 신학을 가르치며 수학을 연구했다. 1626년에 갈릴레이의 도움으로 볼로냐대학의 교수가 된 그는 생을 마칠 때까지 후학을 양성하는 데 힘썼다. 카발리에리는 17세기의 미분적분학 형성에 공헌하였는데 그의 면적 계산법은 아르키메데스의 엄밀한 ‘착출법(method of exhaustion)’과 달리 ‘무한히 얇게 자르며 비교하는’ 직관적인 원리에 바탕을 두었다. 카발리에리의 원리는 다음과 같다. 1. 두 평면도형이 한 쌍의 평행선 사이에 끼어 있고 이 평행선들과 평행한 임의의 선으로 두 평면도.. 2014. 11. 28.
우리나라의 전통 주사위 목제주령구 경주 안압지에서 출토된 '목제주령구'라는 주사위는 보통 우리가 보아 온 6면체가 아니라 특이하게 14면체로 되어 있다. 이 주사위는 정사각형 모양의 면 6개와 육각형 모양의 면 8개로 이루어져 있다. 이는 나무로 만든(木製) 술 먹을 때(酒) 놀던 주사위(令具)라 해서 이름이 붙여졌다. 주사위의 각 면에는 놀이와 관련된 모두 14개의 한자 어구가 음각되어 있다. 목제주령구는 정육면체 주사위에 비해 훨씬 많은 경우를 나타낼 수 있어 우리 선조들의 지혜를 엿볼 수 있다. 목제주령구는 다음 그림과 같이 두 가지 방법으로 정육면체의 꼭짓점 부근을 잘라서 만들 수 있다. 목제주령구에서 정사각형 모양의 면의넓이는 이고 육각형 모양의 면의 넓이는 이다. 실제로 이 주사위를 만들어 던지는 실험을 한 결과는 다음과 같다.. 2014. 11. 28.
대규모 시험에서의 표준 점수 우리나라의 대학 수학 능력 시험이나 미국의 SAT 등과 같이 수험생이 많고, 과목 수도 여러 가지인 경우에는 항상 과목별 난이도의 차이로 인한 문제가 생긴다. 예를 들어 어떤 학생의 국어 점수가 80점, 수학 점수가 75점일 때, 80과 75의 단순 비교만으로는 국어 성적이 좋은지, 수학 성적이 좋은지 알 수 없다. 특히 선택 과목의 경우 선택에 따른 유리함 또는 불리함을 없애고 각 과목 사이의 난이도 조정을 위해서 표준 점수의 도입이 필수적이다. 표준 점수는 전체 응시자의 과목별 평균 점수와 표준편차를 이용하여 각 학생의 과목별 점수가 과목별 전체 평균 점수보다 얼마나 높은지 혹은 얼마나 낮은지를 비교하는 것이다. 표준 점수 중에서 T 점수는 전체 평균이 50점, 표준편차가 10점이 되도록 변환한 것이.. 2014. 11. 28.
던바의 수(Dunbar's number) '던바의 숫자'(Dunbar's number)라는 게 있다. 한 사람이 안정적으로 상호 관계를 유지해 나갈 수 있는 사람의 숫자를 가리키는 말이다. 이를테면 안정적으로 교류할 수 있는 친구 수의 상한을 말하는 것인데, 애초 영국 인류학자 로빈 던바(Robin Dunbar)가 주장한 개념이라 해서 '던바의 수'라는 이름이 붙었다. 그는 1992년 각종 문헌들을 조사한 결과를 토대로, 그 크기가 100명에서 230명 사이라고 주장하고 그 중간 정도인 150을 일반적인 값으로 제안했다. 그는 150이라는 수에 포함되는 사람들을 "초대받지 않은 술자리에서 우연히 동석해도 당혹스러워하지 않을 정도의 사람"이라고 설명했다. 던바 교수의 이론은 인간의 뇌는 용량이 정해져 있어서 일정한 관계 이상을 관리할 수 없다는 .. 2014. 11. 13.
다기망양(多岐亡羊)과 미로 미로라고 하면 종이 위에 그려진 퍼즐이나 어린이 공원 같은 데 있는 미로를 생각하겠지만, 미로는 인간의 실생활에서도 쉽게 볼 수 있다. 미로가 실생활에 사용된 실제적인 예는 고대 이집트의 피라미드에서 찾아볼 수 있다. 피라미드 속에는 죽은 왕과 함께 갖가지 보물들을 넣어 두었는데, 그 보물들을 도적이 훔쳐가지 못하도록 하기 위해 미로를 만들었다. 모험 영화인 ‘인디애나 존스’, ‘미이라’, ‘해리포터’에서도 미로를 헤매고 다니는 주인공들을 흔히 볼 수 있다. 이 밖에도 유럽에서는 궁전의 안뜰에 미로를 만들어 공격해 온 적을 안으로 유인해 전멸시켰다는 전설도 있다. 영국의 브라이트라는 사람은 라는 책을 쓰고, 1971년에는 1.6km이상 되는 미로 정원을 만들었다고 한다. 그 후, 그는 런던의 서쪽 롤리트.. 2014. 10. 20.
넓이와 부정적분 사이의 관계 함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까? 수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다. 배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다. 다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자. 여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다. 이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기 즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다. 따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에.. 2014. 9. 5.
적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. 또, 그리스의 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)는 포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(method of exhaustion)으로 구하는 방법을 제시하였다. 그는 아래의 그림과 같이 선분 AB와 평행한 포물선 위의 접선의 접점을 C라고 할 때, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 △ABC의 넓이의 4/3배가 됨을 보였다. 17세기의.. 2014. 9. 2.
짜장면과 종이접기 우리는 종종 어떤 것을 반으로 나누는 것을 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 자연수 중에서 1을 제외하고 가장 작은 수 2와 그것의 역수인 ‘반’, 즉 1/2의 위력은 우리가 생각하고 있는 것 이상으로 대단하다. 종이접기를 이용하여 반으로 나누는 것에 관하여 알아보자. 외국에서는 이 종이 반접기가 꾸준한 토론 거리가 될 만큼 관심을 받고 있다. 그리고 2001년 12월에 종이를 반으로 접는 문제를 ‘수학적으로’ 풀어낸 사람이 있었다. 당시 고등학생이었던 ‘브리트니 걸리반(Britney Gallivan)’이라는 여성은 종이를 반으로 접는 것에 관한 공식을 찾았을 뿐만 아니라 종이를 무려 12번 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다하더라도 8번 .. 2014. 7. 21.
유연한 사고 기르기 1000에서 743을 빼면? 999에서 743을 빼고 1을 더하는게 빠르다. 고정된 사고를 벗어나자, 사고는 유연하게. 2014. 5. 26.
자연 속의 중간값의 정리 자연 현상이나 일상생활에는 연속인 함수로 표현할 수 있는 것들이 많이 있다. 기온이나 물체의 속도는 시간에 따라 연속적으로 변하므로 닫힌 구간에서 연속인 함수로 나타낼 수 있으며 그 함수에 대하여 중간값의 정리가 성립한다. 북극과 남극의 기온은 영하의 낮은 온도이고 적도 부근의 기온은 영상의 높은 온도이다. 그러므로 알래스카 위쪽의 북극으로부터 태평양 연안의 해안선을 따라 칠레 아래쪽의 남극까지 이동하면 기온은 영하에서 시작하여 영상으로, 그리고 다시 영하로 연속적으로 변하게 된다. 따라서 중간값의 정리를 이용하면 북아메리카 해안과 남아메리카 해안에는 서로 기온이 같은 지점이 반드시 존재함을 알 수 있다. 또한 한라산의 북쪽 사면과 남쪽 사면에는 서로 기온이 같은 지점이 반드시 존재하게 되고, 양쪽 면의.. 2013. 6. 16.
사이클로이드 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 축을 따라 미끄러지지 않도록 굴릴 때 원 위의 점 가 그리는 점의 자취를 사이클로이드라고 한다. 반지름의 길이가 인 원 위의 점 가 원점에서 출발하여 각 만큼 회전했을 때의 위치는 로 나타난다. 위의 그림에서 아치 한 개의 곡선의 길이는 적분을 이용하여 구할 수 있다. 사이클로이드 위의 어떤 점에서 출발하더라도 정점에 이르는 시간이 같다. 위의 [그림 1]과 같은 사이클로이드 미끄럼틀을 타는 세 어린이 A, B, C는 같은 시각에 출발하면 바닥에 도착하는 시간이 같다.사이클로이드는 출발점에서 도착점으로 가는 가장 빠른 경로이다. 위의 [그림 2]에서 직선과 사이클로이드 중 어느 경로 위의 공이 바닥에 먼저 도착할까? 바로 사이클로이드이다. 사이클로이드는 초기에 .. 2013. 3. 17.
생활 속의 미분적 사고 변화를 연구하는 미분학에서는 미분적 사고를 필요로 한다. 아래의 그림과 같이 곡선 의 아주 작은 부분만을 따로 떼어 직선으로 생각하는 것은 미분적 사고의 한 예이다. 우리 생활 전반에 걸쳐 찾을 수 있는 미분적 사고를 살펴보자. 1. 박물관의 토기 박물관에 진열되어 있는 토기는 멋진 곡면이지만 토기를 발굴할 당시에는 모두 조각나 있었을 것이다. 이 작은 조각은 곡면의 일부이지만 거의 평평하다. 2. 지구 표면 인공위성에서 찍은 사진을 보면 알 수 있듯이 ‘지구는 둥글다.’는 것은 사실이다. 하지만 ‘내가 서 있는 부근’만을 생각하면 평평하다. 3. 컴퓨터 단층 촬영 병원에서 사용하는 컴퓨터 단층 촬영(CT)은 사람의 몸의 내부를 얇게 자른 형태로 계속하여 사진을 찍어나간 후 그중에서 필요한 부분의 사진을.. 2013. 3. 4.
영(0)이라는 수 영은 기원전 2세기 중국의 산술이나(점으로 표시) 그보다 훨씬 앞서 마야인들의 문명에서(나선으로 표시) 그 자취를 찾아볼 수 있다. 하지만, 우리가 사용하는 영은 인도에서 유래한 것이다. 7세기에 페르시아인들은 인도인들의 영을 모방했다. 몇 세기 후에 아라비아인들이 페르시아인들로부터 그 수를 빌려 왔고 그것에 우리가 알고 있는 이름을 붙였다(아라비아 말로 시파는 을 뜻한다). 유럽에는 13세기가 되어서야 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치의 소개로 영의 개념이 도입되었다. 피보나치(필리오 디 보나치를 줄여 부르는 것일 가능성이 많다)는 피사의 레오나르도라고도 불렸는데, 그 별명과는 달리 베네치아의 상인이었다. 그는 동시대 사람들에게 영의 개념이 얼마나 유익한지를 설명하려고 애썼다. 그러나 사람들은 그의.. 2013. 2. 22.
원주율의 계산 는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이에 비례하며, 이때의 비례상수, 즉를 원주율이라고 한다. 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다. 그는 원에 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정12각형, 정24각형, 정48각형을 그리고, 마침내 정96각형까지 같은 방법으로 그려냈다. 원의 둘레의 길이가 내접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 크고, .. 2012. 11. 13.
체스에 얽힌 등비수열 인도의 수학자 세타는 재미있는 놀이를 만들어 달라는 왕자의 부탁으로 체스라는 서양 장기를 만들었다. 왕자는 재미있는 놀이를 할 수 있게 해 준 세타에게 상을 내리고 싶어 원하는 것은 무엇이든 들어주겠다고 약속했다. 세타는 64개의 칸으로 되어 있는 체스판의 첫 번째 칸에는 수수 한 알, 두 번째 칸에는 수수 두 알, 세 번째 칸에는 수수 네 알, 네 번째 칸에는 숫 여섯 알과 같이 그 앞 칸에 놓인 수수알의 두 배를 채워 달라고 하였다. 왕자는 대수롭지 않게 세타의 제안을 받아들였다. 그런데 체스판을 이와 같이 수수알로 채운다면 18,446,744,073,709,551,615알(1844경 6744조 737억 955만 1615알)이라는 것을 알고 매우 놀랐다. 왜냐하면 이 수수의 양은 지구상에서 생산되는 .. 2012. 11. 8.
쾨니히스베르크의 다리와 일필휘지(一筆揮之) 프로이센의 소도시 쾨니히스베르크(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명하다. 칸트는 매일 같은 시간에 산책을 하여 사람들이 그가 산책하는 것을 보고 시계를 맞추었다는 일화가 전해 오는 곳이다. 이 도시는 수학과 관련해서도 기념비적인 곳이다. 쾨니히스베르크 도시를 관통하는 프레겔 강에는 2개의 섬이 있고 이들 섬과 육지는 7개의 다리로 연결되어 있다. 당시 사람들은 '같은 다리를 두 번 건너지 않고, 모든 다리를 건널 수 있을까?'하는 문제를 생각했는데 이를 '쾨니히스베르크의 다리 문제'라고 한다. 쾨니히스베르크의 다리 문제는 연필을 떼지 않고 한 번에 그리는 한붓그리기, 곧 '일필휘지(一筆揮之)'가 가능한가의 문제라고도 할 수 있다. 쾨니히스베르크의 다리 문제를 해결하기 위해 여.. 2012. 11. 3.
자동차의 경제속도는? 자동차에 쓰이는 연료는 자동차를 움직이는 데 꼭 필요한 것이지만 그 배출 가스는 환경 오염의 원인이 되고 있다. 따라서 환경 오염을 줄이기 위해서는 연료를 될 수 있는 대로 적게 소모해야 한다. 연료를 절감하는 방법 중의 하나로 경제속도가 있다. 이는 가장 적은 연료로 가장 먼 거리를 달릴 수 있는 속도를 뜻한다. 경제속도를 구하는 방법을 알아보자. 아래의 그래프는 어떤 자동차의 속도에 따른 시간당 연료 소모량을 나타낸 것이다. 자동차는 시동을 건 상태로 정지해 있는 경우에도 연료가 소모된다. 자동차가 움직이기 시작하면 시간당 연료 소모량은 감소하는데, 그래프에서 보는 것처럼 시속 60km 정도에서 시간당 연료 소모량이 최소가 된다. 이 자동차의 연비( km/L)는 언뜻 보기에 이때가 최대인 것처럼 보이.. 2012. 11. 2.
4? 3? 관련글 : 2011/05/11 - [정신체조수학] - 에셔의 불가능한 도형들 2012. 3. 26.
수학에 관한 명언들 ◆ 수학이 너의 영혼의 눈을 뜨게 한다. - Platon ◆ 수학을 공부하는 것은 정신 체조를 하는 것이다. - Johann Heinrich Pestalozz ◆ 수학은 비판적 사고력을 키운다. - Polya ◆ 신(神)이 대충 닫은 문틈으로 우주를 보는 게 수학이다. - Albert Einstein ◆ 성공 방정식 : S = X + Y + Z (S=성공, X=말을 많이 하지말 것, Y=생활을 즐길 것, Z=한가한 시간을 가질 것) - Albert Einstein ◆ 수학은 과학의 여왕이고, 산술은 수학의 여왕이다. - Karl Friedrich Gauss ◆ 수학적 발견의 원동력은 논리적인 추론이 아니고 상상력이다. - August de Morgan ◆ 수학을 공부하지 않은 대부분 사람들에게는 믿기지 .. 2011. 5. 12.
에셔의 불가능한 도형들 1958년 펜로즈가 영국 심리학 저널에 '불가능한 대상 : 시각적 착시의 특별 형태'라는 용어를 사용하여 네델란드의 화가 에셔의 작품 "Belvedere," "Ascending and Descending"과 "Waterfall"을 소개함으로써 불가능한 도형이 세상에 널리 알려지게 되었다. 그래서 위의 불가능한 세 막대 도형은 '펜로즈의 삼각형'으로 불리고 있다. "Belvedere" 이 그림은 에셔의 1958년 작품으로 '전망대' 중 일부분이다. 어느 기둥이 앞에 있는 기둥일까? "Ascending and Descending" 이 그림은 에셔의 1960년 작품으로 '올라가기와 내려가기' 중 일부분이다. 가장 높은 부분은 어디일까? "Waterfall" 이 그림은 에셔의 1961년 작품으로 '폭포' 중 일.. 2011. 5. 11.
오스카 로이터스바르드(Oscar Reutersvard)의 불가능한 도형들 1934년 스웨덴의 화가 오스카 로이터스바르드(Oscar Reutersvard)는 위의 우표 속의 그림과 같이 불가능한 그림 속의 정육면체를 그렸다. 이 작품은 최근에야 주목을 받아 1982년 스웨덴 체신국에서 그의 작품을 우표로 발행했다. 첫 번째 우표를 보면 12개의 정육면체를 결합하여 삼각형 모양을 그린 것이다. 잘 관찰하면 삼각형 모양의 세 꼭지각이 각각 직각을 이루고 있음을 알 수 있다. 따라서 삼각형 모양의 세 꼭지각의 합은 270도인 셈이다. 그러나 실제로 12개의 정육면체를 아무리 결합을 해도 이 도형을 만들 수 없다. "Follow the Groove" "Impossible Window I" "Double Impossibility" "Impossible Triangle with a Twi.. 2011. 5. 11.
신기한 착시현상 #04 완전한 원이 형편없이 찌그러져 보인다. 위와 아래의 사다리꼴의 윗변의 길이는 서로 같다. 그러나 위쪽의 것이 더 길어 보인다. 가운데 + 를 뚫어지게 쳐다보세요! 주위의 보라색 원들이 차츰차츰 없어집니다~~!! 검은 점들이 보였다 사라진다. 어지러워라~ 실제로는 움직이지 않는 그림이다. 역시 실제로는 움직이지 않는 그림이다. A 부분과 B 부분의 색깔은 같다. 2011. 5. 11.

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