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정신체조수학243

간단한(?) 퀴즈 몇 개 1. 병 속에 세균 1마리가 있는데 세균 1마리가 2마리로 분화되는 데 1분의 시간이 걸리고, 병 속이 세균으로 가득 차는데 1시간의 시간이 걸린다고 한다. 처음 병 속에 세균 2마리를 넣었다고 할 때, 병 속이 세균으로 가득 차는데 걸리는 시간은 얼마인가? 2. 고양이 5마리가 쥐 5마리를 잡는데 5분의 시간이 걸린다고 한다. 그렇다면 고양이 100마리가 100마리의 쥐를 잡는데 몇 분이 걸리는가? 3. 과일 가게 주인이 각각 사과, 귤, 사과와 귤이 섞인 상자 세 개를 받았는데 발송하는 사람의 실수로 각 상자의 라벨을 모두 잘못 붙였다고 한다. 각각의 라벨이 '사과', '귤', '사과와 귤'이라고 할 때, 상자 속 내용물을 확인하기 위해서 상자를 최소한 몇 번 열어봐야 하며, 어떤 라벨이 붙은 상자를.. 2015. 5. 14.
결혼 공식 미국의 수학자 Garth Sundem은 특이한 공식을 개발하는 것으로 유명한 사람이다. 다음은 그가 개발한 여러 개의 공식들 중 결혼에 관한 두 가지 공식이다. (1) 나의 결혼이 지속될 확률은 얼마나 될까? A : 결혼하려고 하는 해의 그녀의 나이 E : 고등학교 졸업 후에 현재까지 몇 년 동안 교육을 받았는가?(두 사람의 것을 합해야 함) K : 이 결혼으로 생각하고 있는 아이들의 수 R : 커플의 신앙이 얼마나 깊은가.(1에서 10까지 점수를 매길 수 있으며, 10은 교황이 기준) D : 커플의 부모가 몇 번이나 이혼을 했는지(역시 두 사람의 것을 합해야 함) P : 이 결혼 이전에 결혼을 했던 횟수(두 사람의 합) T : 당신이 확률을 계산하고 있는 연도 는 Happy ever after로, 동화.. 2015. 5. 13.
4색 문제(four color problem) 1852년 10월, 영국 런던에 있는 유니버시티 대학(University College)의 대학원생 프렌시스 구드리에(Francis Guthrie)는 영국 지도를 색칠해 나가다가 '인접한 구획들이 같은 색으로 칠해지는 경우가 없게 하려면 최소한 몇 가지의 색이 필요할까?'라는 의문을 갖게 되었다. 결국 영국의 지도에 있는 지역들을 구별하여 색칠하는 데는 4가지 색이면 충분하다는 사실을 알게 되었다. 그는 임의의 구획으로 나누어져 있는 지도를 칠할 때 4가지 색이면 대부분 되는 것 같았지만 확신을 가질 수는 없었다. 다섯 가지 이상의 색을 사용해야 조건에 맞게 그릴 수 있는 지도가 존재할까, 아니면 네 가지 색이면 어떤 지도에서도 인접한 구획들이 다른 색으로 칠해질 수 있음을 증명할 수 있을까? 구드리에는.. 2015. 5. 13.
공평한 분배의 방법 1. 두 사람이 케이크를 공평하게 나누는 방법 A, B 두 사람이 케이크 하나를 공평하게 나누어야 하는데, 조금이라도 적게 받은 사람은 불평을 할 것이다. 모두 만족스럽게 케이크를 나누는 방법을 생각해보자. 케이크를 똑같이 나누는 여러 가지 방법이 있지만 다음과 같이 나누면 어느 쪽도 불만이 있을 수 없다. ① A가 케이크를 두 조각으로 나눈다. ② 나눈 두 조각 중 하나를 B가 가진다. ③ 남은 한 조각을 A가 갖는다. 2. 세 사람이 케이크를 공평하게 나누는 방법 이제 A, B, C 세 사람이 케이크 하나를 공평하게 나누어야 한다. 한 사람이 불공평하게 나누면 두 사람이 불만이 생기기 때문에 두 사람이 케이크를 나누는 것보다 더 어렵게 보인다. 다음과 같이 모두 불만이 없이 공평하게 분배할 수 있다... 2015. 5. 13.
수를 세는 일상 단위 현재는 길이나 면적, 무게를 나타낼 때 국제단위계라고도 하는 SI 단위를 사용하는데 길이를 나타내는 m, 시간을 나타내는 s, 무게를 나타내는 kg 등이 있다. 그렇다면 국제단위계 말고도 우리 주변에서 사용하는 단위로는 무엇이 있을까? 많이 알려진 것으로는 건물의 면적을 나타내는 평, 한 묶음의 단위로 사용되는 다스 등이 있다. 그 외에도 많은 일상 단위가 있는데 몇 가지 살펴보도록 한다. · 자(척), 장, 치(촌), 푼 : 1척 = 1/10장 = 10촌 = 100푼 = 30.3cm · 평 : 가로 세로 6자의 넓이. 1평 = 3.3058㎡ · 단보, 정보 : 땅 넓이의 단위. 1정보 = 10단보 = 3000평 · 마지기 : 논밭 넓이의 단위로 한 마지기는 볍씨 한 말의 모 또는 씨앗을 심을 만한 넓이.. 2015. 5. 13.
요절한 천재수학자 아벨과 갈루아 이차방정식과 삼·사차방정식의 일반적인 해법(근의 공식과 같이 계수들의 사칙연산과 거듭제곱 및 제곱근의 연산만으로 해를 구하는 것)이 밝혀진 후 많은 수학자들이 꼴의 오차방정식의 일반적인 해법을 찾으려고 노력했다. 그러나 16세기 말 사차방정식의 해법을 발견한 이래 200여 년이 더 지난 19세기 초까지도 해법을 찾지 못했다. 그러나 1824년, 22세의 젊은 수학자 아벨(Abel, N. H. ; 1802~1829)이 '오차 이상의 방정식의 일반적인 해법은 존재하지 않는다.'는 사실을 증명했다. 그는 200년간 풀리지 않은 어려운 문제를 증명했으나 그 당시 수학계의 1인자인 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)조차도 이 논문을 읽어보지도 않고 쓰레기통에 버렸다고 한다. 그는 계속된 가난과 .. 2015. 4. 27.
기약다항식 판정법 자연수를 소인수분해하면 그 자연수에 대하여 보다 많은 것을 알게 된다. 자연수의 소인수분해의 중요성은 일찍부터 알려져 있었으며 여러 가지 계산에 소인수분해를 이용하였다. 유클리드(Euclid ; ? B.C. 325~? B.C. 265)의 원론(Elements)에는 '1보다 큰 자연수는 오직 한 가지 방법에 의한 소수의 곱으로 나타내어진다.'는 정리가 소개되어 있다. 그러나 자연수를 더 작은 자연수로 분해하여 보겠다는 생각이 다항식에 적용되기까지는 2000여 년의 시간이 걸렸다. 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)는 '일차 이상의 다항식은 기약다항식의 곱으로 유일하게 인수분해된다.'는 것을 증명하였는데, 그 이후로 자연수에서 소인수분해가 했던 역할이 다항식의 인수분해에도 그.. 2015. 4. 27.
황도좌표에 따른 절기(節氣) 수학에서 우리는 점의 위치를 나타내기 위하여 직교좌표계를 이용한다. 수평선과 수직선, 즉 x축과 y축은 평면을 사분면(四分面)으로 나눈다. 또, 어떤 점의 위치를 나타내기 위하여 두 실수의 순서쌍 (x, y)로 좌표를 나타낸다. 한편, 평면상의 점을 극좌표계로도 나타낼 수 있다. 극좌표는 원점으로부터의 거리와 원점에서 그 점을 지나는 반직선이 축의 양의 방향과 이루는 각을 이용하여 나타낸다. 천구에서 극좌표를 응용한 예가 황도좌표이다. 황도좌표는 주로 달과 행성 등 태양계 천체의 궤도와 위치 표시에 쓰이며, 경도·위도는 각각 황경(黃經)·황위(黃緯)라고 한다. 황경은 춘분점을 0°로 하여 동쪽으로 돌며 360°까지 표시된다. 즉, 하지 때의 태양 황경은 90°, 추분 때는 180°, 동지 때는 270°가.. 2014. 12. 29.
벤포드의 법칙(Benford's law) 대부분의 사람들은 우리 주변에 널린 다양한 수치 자료들을 모아서 맨 앞자리의 숫자를 조사하면 1, 2, 3, …, 9가 당연히 11.1%의 비슷한 확률로 나타날 것이라고 생각할 것이다. 그러나 경제 지표들에 나타나는 숫자, 주소에 있는 숫자, 어떤 회사의 회계 장부에 있는 숫자 등과 같은 다양한 숫자들을 수집하여 그 수들의 맨 앞자리의 숫자들을 조사해 보면 첫 자리의 수가 1인 것이 무려 30%로 가장 빈번하게 나타나고, 2에서 9로 갈수록 그 빈도는 현저히 낮아진다. 이러한 숫자들의 분포를 공식화한 것이 '벤포드의 법칙(Benford's law)'이다. 벤포드의 법칙은 다양한 데이터의 십진법의 값에서 첫 자리의 수가 1인 경우가 많은 것처럼 맨 앞자리에 오는 숫자가 고르게 분포되어 있지 않다는 법칙으로.. 2014. 12. 29.
평균으로의 회귀 어떤 식당에서 식사를 하였는데, 그 맛이 매우 좋아 다시 그곳을 찾았다가 실망한 경험이 한 번쯤은 있을 것이다. 이처럼, 맨 처음에는 평균을 훨씬 뛰어넘지만 두 번째는 평균값 이하로 되돌아오는 현상을 '평균으로의 회귀(Regression toward the mean)' 또는 '평균으로의 퇴보'라고 한다. 이는 주사위의 눈으로 설명이 가능하다. 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5이다. 주사위를 처음 던졌을 때 기댓값보다 높은 숫자가 나왔다고 하면 다음 번에는 작은 숫자가 나올 확률이 높다. 예를 들어, 처음에 4의 눈이 나왔다고 하자. 다음 번에 4보다 작은 수 1, 2, 3이 나올 확률은 이고, 5나 6이 나올 확률은 로 두 번째에는 작은 숫자가 나올 확률이 크다. 즉, 한 번 평균을.. 2014. 12. 27.
섭씨온도와 화씨온도 미국에서는 관습적으로 온도 단위로 화씨를 주로 사용한다. 화씨온도는 독일의 파렌하이트(Fahrenheit, G. D. ; 1686~1736)의 이름을 딴 것으로, 기호 ℉로 나타낸다. 화씨온도로 물이 어는 온도는 32도(섭씨 0도)이며, 물이 끓는 온도는 212도(섭씨 100도)이다. 화씨(華氏)라는 용어는 독일 인명인 Fahrenheit의 중국어 표기 '화론해특(華倫海特)'에서 유래한 것이다. 또, 섭씨온도는 스웨덴의 셀시우스(Celsius, A. ; 1701~1744)의 이름을 딴 것으로, 섭씨(攝氏)라는 용어는 스웨덴 인명인 Celsius의 중국어 표기 '섭이사(攝爾思)'에서 유래한 것이다. 섭씨온도를 (℃)라고 할 때, 화씨온도 (℉)는 로 나타내어진다. 그러므로 화씨온도가 섭씨온도로 어느 정도 .. 2014. 12. 26.
타원의 광학적 성질 아래의 그림과 같은 타원 모양의 당구대의 두 초점 F, F'에 공이 놓여 있을 때, 점 F에 놓인 공의 뒷면을 똑바로 치면 공은 당구대의 가장자리에 반사된 후 점 F'에 있는 공에 부딪힌다. 이것은 '타원의 한 초점에서 나간 빛은 타원에 반사된 후 다른 초점을 지나간다'는 타원의 광학적 성질에 의한 것이다. 타원의 광학적 성질은 의료 기기나 건축물의 설계에도 이용되고 있다. 가령, 신장 결석을 제거할 때, '체외 충격파 쇄석기'라는 의료 기기를 사용한다. '체외 충격파 쇄석기'는 타원의 광학적 성질을 이용하여 신장 속에 있는 결석을 파괴한다. 우선 결석의 위치를 확인하고 타원 모양의 튜브에서 한 초점의 위치에 결석이 오게 한다. 그리고 타원의 다른 한 초점에서 충격파를 쏘면 이 충격파는 결석이 위치한 다.. 2014. 12. 26.
원뿔곡선 이차곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 단면의 둘레로 나타나는 곡선이기도 하다. 이러한 뜻에서 이차곡선을 원뿔곡선이라고 한다. 원뿔곡선에 대한 연구는 기원전 4세기경 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 처음으로 원뿔곡선을 정의한 사람은 메나이크모스(Menaechmos ; ?B.C.375~?B.C.320)이고, 원뿔곡선의 이론을 크게 발전시킨 사람은 아폴로니오스(Apollonios ; ?B.C. 262~?B.C.190)이다. 메나이크모스는 아래의 그림과 같이 원뿔의 꼭짓점에서 각의 크기 α가 직각보다 작은 예각원뿔 [그림1], α가 직각인 직각원뿔 [그림2], α가 둔각인 둔각원뿔 [그림3]을 그 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 연구하였다. 아폴로니오스는 메나이크모스와 같이 여러 가지 원뿔.. 2014. 12. 26.
블랙잭 필승 전략 카지노의 여러 가지 도박 중에서 그나마 고객이 이길 확률이 가장 높은 것은 블랙잭(Blackjack)으로 알려져 있다. 블랙잭은 가지고 있는 카드에 적힌 수의 합이 21 이하이어야 하며, 21에 가까울수록 이기는 게임이다. 미국 캘리포니아 주립대학의 수학자 에드워드 소프(Edward O. Thorp ; 1932~)는 1962년 라는 책을 출판하여 화제를 모았다. 소프는 수학적으로 확률을 계산하여 블랙잭에 필요한 필승 전략을 제안하였는데, 그 전략대로 게임을 하여 주변에서 투자한 돈 1만 달러를 불과 30시간 만에 2만 달러로 불리고, 이를 통해 본인의 전략이 유효함을 입증하였다고 한다. 수학적 확률 계산에 의해 세워진 소프의 블랙잭 전략의 일부는 다음과 같다. 패의 합이 11 이하이면 카드를 더 받고, .. 2014. 12. 23.
힐베르트의 호텔 수학자 힐베르트(Hilbert, D. ; 1862~1943)가 만들어낸 '무한호텔'은 무한의 성질을 잘 보여주는 상황을 제공한다. 호텔의 이름에서 알 수 있듯이 무한호텔에는 무한개의 객실이 있어 무한히 많은 사람들이 투숙할 수 있다. 어느 날 한 손님이 무한호텔로 찾아왔는데, 객실이 무한개 있음에도 불구하고 비어 있는 방이 없었다. 그러자 호텔 종업원은 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련해 주었다. 어떻게 했을까? 새로 온 손님을 1호실로 안내하고, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로 옮기는 식으로 투숙객들을 옆방으로 한 칸씩 이동시킨 것이다. 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대이기 때문이다. 그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 모두 객실을 차.. 2014. 12. 20.
튜링과 컴퓨터 미래학자 레이 커즈와일(Ray Kurzweil ; 1948~) 박사는 2025년에는 컴퓨터의 지능이 인간의 지능 수준과 같아지고 2050년이 되면 인류 전체와 컴퓨터 한 대의 지능 지수가 같아진다고 예측했다. 미래의 컴퓨터는 이처럼 똑똑해진다고 하지만 현재의 컴퓨터가 하는 일은 사칙계산에 불과하며, 컴퓨터는 매우 단순한 일을 반복적으로 빠르게 처리할 뿐이다. 그렇게 간단한 계산을 수행하는 컴퓨터가 어떻게 고도의 지적인 작업을 할 수 있을까? 그 비밀은 아무리 복잡한 일이라도 단순한 사칙계산으로 분해하고, 또 이를 컴퓨터가 알아들을 수 있는 프로그램으로 바꿀 수 있기 때문이다. 이런 과정에서 알고리즘과 순서도가 필요하다. 영국의 수학자 튜링(Turing, A ; 1912~1954)은 복잡한 과제를 단순한 .. 2014. 12. 20.
바이오리듬과 사인(sine)곡선 우리 몸의 상태가 좋아졌다 나빠졌다 하면서 주기적으로 변화하는 이유는 인체 내부의 어떤 생화학적 작용 때문이라고 하는데, 이와 같은 인체 내의 생화학적 변화 리듬을 '바이오리듬(biorhythm)'이라고 한다. 20세기 초 독일의 의사인 플리스(Fliess, W.)는 환자의 상태가 주기적으로 변하는 것을 관찰하다가 신체 리듬을 위주로 하는 남성 인자는 23일을 주기로 하고, 감성 리듬이 지배하는 여성 인자는 28일을 주기로 한다는 것을 알아냈다. 초기에는 남녀가 각기 다른 주기를 갖는 것으로 구분했지만, 후에 남녀 모두 23일의 '신체 주기(physical cycle)'와 28일의 '감성 주기(emotional cycle)'를 갖는 것으로 정했다. 여기에 오스트리아의 인스브룩 대학 공학 교수인 텔처(Te.. 2014. 12. 18.
이차방정식의 역사 옛날 사람들이 이차방정식을 언제부터 알고 있었으며 어떻게 풀었는지에 대한 정확한 기록은 남아있지 않지만, 기원전 1800년을 전후해서 이미 간단한 이차방정식을 풀 수 있었던 것으로 짐작된다. 이 무렵 육십진법을 썼던 고대 바빌로니아 사람들은 이미 와 같은 이차방정식을 풀어서 과 같이 계산하였으며, 인 경우에 의 근을 와 같이 구했다고 한다. 지금과 같이 완전히 일반적인 경우는 아니지만 이차방정식의 근의 공식을 처음으로 찾은 사람은 인도의 수학자인 브라마굽타(Brahmagupta ; 598~670)인데, 628년에 그가 쓴 이라는 책에서 의 근을 와 같이 나타내었다. 지금과 같은 완전한 근의 공식은 12세기 인도 최고의 수학자였던 바스카라(Bhaskara ; 1114~1185)에 의하여 완성되었다. 이차방.. 2014. 12. 18.
흐림 집합 이론(Fuzzy set theory) 집합이란 그 소속이 분명한 원소들의 모임이다. 그런데 분명히 집합이지만 그 원소를 구별하기가 애매한 경우가 종종 있다. 다음과 같은 예를 생각해 보자. 노란색 색종이의 집합을 A라고 할 때, 다음 중에서 집합 A의 원소는 어느 것인가? 이 경우에 집합 A의 원소가 ②뿐이라는 사람도 있겠지만, ②와 ⑤라고 생각하는 사람도 있을 수 있다. 물론, 다른 선택 역시 가능하다. 아래 그림 중에서 물이 들어 있는 컵은 어느 것인가? 이 경우에 답은 당연히 ①을 제외한 나머지 컵들이다. 그런데 ②의 경우에 우리는 '물이 아주 조금 있다' 또는 '물이 거의 없다'라고 표현할 수 있다. 즉 물이 없는 쪽에 훨씬 더 가깝다는 뜻이다. 이와 같이 어떤 대상이 한 집합의 원소인지 아닌지 애매한 상황을 수학적으로 구별하는 방법.. 2014. 12. 15.
사차원 정육면체(hypercube) 누구나 한 번쯤 사차원 세계에 대하여 상상해 본 경험이 있을 것이다. 물리학자들은 물론이고 수학자들도 당연히 사차원 공간에 대하여 궁금해 하였다. 그러나 불행하게도 우리는 사차원 세계를 직접 경험할 수 없다. 그렇다면 간접적으로 경험할 수 있는 방법은 없을까? 수학자들은 다음과 같은 아이디어를 생각해내었다. 정육면체(cube)에 빛을 비추어 평면에 사영(射影)을 시키면 아래의 오른쪽 그림과 같은 모양으로 나타난다. 즉, 삼차원 공간의 정육면체가 이차원 평면의 정사각형으로 나타내어지는 것이다. 이것을 다음과 같이 생각할 수 있다. 작은 정사각형의 네 변에 정사각형을 변형시킨 사다리꼴을 각각 붙여서 큰 정사각형을 만든다. 여기에서 정사각형을 정육면체로, 변을 면으로, 사다리꼴을 사각뿔대로 바꾸면 다음과 같은.. 2014. 12. 15.
피보나치수열과 황금비 수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 중 하나는 피보나치수열이다. 피보나치수열이라는 이름은 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파하는 데 큰 공헌을 했던 12세기 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치(Fibonacci. L. ; 1170~1250?)가 그의 저서 에 다음과 같은 내용을 수록하면서 붙여졌다. 한 농장에서 갓 태어난 토끼 암수 한 쌍이 있다. 한 쌍의 토끼는 생후 1개월 뒤에 다 자라고, 다 자라면 한 달마다 다시 암수 한 쌍을 낳는다. 어떤 토끼도 죽지 않는다고 가정할 때, 1년이 지난 후에 토끼는 모두 몇 쌍이 될까? 위의 규칙성을 그림으로 나타내면 아래와 같다. 이때, n개월 뒤에 토끼가 쌍이 된다고 하면, 과 같이 연속한 항의 합이 그 다음 항이 되는 피보나치수열 을 얻는다. 단순한 흥밋거리.. 2014. 12. 15.
행렬을 이용한 암호화와 해독 암호는 주로 군사적인 목적으로 이용되어 왔으나, 인터넷과 정보 기술이 고도로 발달한 현대사회에서는 정보 보호의 중요한 수단이 되고 있다. 그러나 아무리 보안을 철저히 한다해도 암호를 푸는 기술 역시 함께 발전하여 왔으므로, 해독이 어려운 암호의 개발이 매우 중요한 과제가 되었다. 이때 이용되는 수학적 방법 중의 하나가 행렬이다. 암호화된 평문(平文, 일반 문장)의 뜻을 파악하려면 해독하는 작업이 필요한데, 그 방법의 하나로 행렬을 이용하는 것이다. 가령 행렬 를 이용하여 평문 MATH를 암호화하여 보자. 우선 다음과 같이 알파벳 A, B, C, …, Z에 각각 숫자 0, 1, 2, 3, …, 25를 대응시킨다. 0~25 이외의 숫자는 26의 배수를 더하거나 빼서 얻은 0~25 사이의 수와 같은 숫자로 간.. 2014. 12. 13.
천재 수학자들의 오류 이탈리아의 수학자 그란디(Grandi, L. ; 1671~1742)는 1703년에 무한급수 에 대하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 서로 다른 합을 구하였다. 그는 급수의 합이 이처럼 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 이라고 결론을 내렸다. 왜냐하면 등식 에 을 대입하면 이 성립하기 때문이다. 또한 그는 로부터 , 즉 이라고 생각했다. 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 철학자 울프(Wolff, C. 1679~1754)에게 쓴 편지에서 그란디의 주장에 동조하면서 합 S가 0 또는 1이 될 확률이 같기 때문에 S는 확률의 이론에 의하여 그 평균인 이라고 하였다. 베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705), 오일러(Euler, L. ; 1707.. 2014. 12. 13.
코흐의 눈송이 곡선 스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, N. F. H. ; 1870~1924)는 1904년에 발표한 논문에서 넓이는 유한하지만 그 영역을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 무한히 긴 도형을 소개하였다. 이 도형을 만드는 방법은 다음과 같다. ❶ 정삼각형을 한 개 그린다. ❷ 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분을 지운 다음, 그 길이를 한 변의 길이로 하는 정삼각형을 그려서 변을 연결한다. ❸ ❷의 과정을 반복한다. 다음 그림은 위의 과정을 3번 반복한 것이다. 이 과정을 한없이 계속할 때 만들어지는 도형을 그의 이름을 붙여서 '코흐의 눈송이 곡선(Koch snowflake curve)'이라고 한다. 이 눈송이 곡선의 길이를 계산하기 위하여 처음 삼각형의 한 변의 길이가 어떻게 변하는지 알아보자. 위의 그림에.. 2014. 12. 13.
우박 수열 - 콜라츠 추측 독일의 수학자인 콜라츠(Collatz, L. ; 1910~1990)는 1937년에 다음과 같이 정의되는 자연수의 수열을 소개하였다. ❶ 이 홀수이면, ❷ 이 짝수이면, 이와 같은 수열이 어떤 성질을 갖는지 알아보자. 만약 이면 , , 이다.따라서 이 1, 2, 4인 경우에는 그 이후에 4, 2, 1이 반복되어 나타나게 된다. 예를 들면 다음과 같다. 이면 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 이면 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 이면 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 아래의 그래프는 일 때의 수열 을 그래프로 나타낸 것이다. 이 그래프는 마치 롤러코스터처럼 상승과 하강을 반복하다가 4, 2, 1이 반복되면서 안정된다 .. 2014. 12. 12.
아르키메데스의 실진법 그리스의 아르키메데스(Archimedes ; B.C. 287~ B.C. 212)는 역사상 가장 위대한 수학자의 한 사람인데, 가장 훌륭한 수학적 업적 중의 하나로 적분법의 연구를 꼽을 수 있다. 그는 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 그 안에 포함된 삼각형들의 넓이의 합으로 구하는 방법을 생각하였다. 예를 들어 포물선 과 축으로 둘러싸인 도형을 생각해보자. 위의 그림과 같이 꼭짓점 A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)인 삼각형 ABC의 넓이는 1이다. 또 두 점 과 에 대하여 이다. 또 네 점 , , , 에 대하여 다음이 성립한다. 아르키메데스는 이 도형 안에 삼각형이 아무리 많이 있더라도 위에서와 같이 각 삼각형마다 두 개의 새로운 삼각형을 넣을 수 있고, 이렇게 해서 증가하는 넓이는.. 2014. 12. 12.
케플러의 적분 독일의 천문학자 케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)는 천문학에서 행성의 세 가지 운동 법칙의 발견으로 주로 기억되고 있지만, 수학에서도 여러 가지 업적을 남겼다. 행성 운동의 제2 법칙은 '같은 시간에 행성과 태양을 연결하는 선분이 지나는 부분의 넓이는 서로 같다'라는 것이다. 현재와 같은 적분법이 탄생하기 전에 케플러는 이런 넓이를 자기 나름의 방법을 고안하여 계산했다고 한다. 이와 같은 행성 운동의 법칙이 발표된 이후 가장 먼저 제기된 의문은 왜 모든 행성이 타원 궤도를 그리면서 공전을 하느냐 하는 것이었다. 케플러는 그 이유가 태양과 행성 사이에 작용하는 인력 때문이라고 하면서, 인력은 태양과 행성 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 주장하였다. 케플러의 이와 같은 주장을 수학적으로 뒷.. 2014. 12. 11.
정규분포의 역사 정규분포(正規分布, normal distribution)에 대한 연구는 지난 수 세기에 걸쳐 이루어져 왔다. 프랑스의 수학자 라플라스(Laplace, P. S. ; 1749~1827)와 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855) 등에 의하여 수학적인 체계가 갖추어 졌으며, 이후 물리학, 천문학 분야의 여러 학자들에 의하여 실제 자료를 설명하는 데 정규분포가 유용함이 확인되었다. 정규분포가 모든 자료를 설명할 수 있는 것은 아니지만 여러 분야에 가장 널리 이용되고 있는 확률분포이다. 정규분포는 프랑스의 수학자 드무아브르(de Moivre, A. ; 1667~1754)의 1733년 논문에서 처음으로 도입되었다. 드무아브르는 이항분포에서 시행 횟수 n이 클 때 확률의 근삿값을 극한을 .. 2014. 12. 11.
회문(回文)과 대칭수 '회문(Palindrome)'이란 '일요일', '다시 갑시다', '다시 합창합시다', '다 좋은 것은 좋다' 등과 같이 바로 읽으나 거꾸로 읽으나 같은 문장이 되는 것을 말한다. 이것은 서기 79년 로마의 어느 건물 벽에서 발견된 방진에서 유래되었다고 한다. 이 방진에 쓰여 있는 문자들을 옮겨 적으면 아래 그림과 같다. 여기서 Rotas는 창조, Opera는 인간의 작품, Tenet는 법률, Arepo는 쟁기 혹은 경작, Sator는 신을 뜻한다고 하는데 중앙에 위치한 TENET가 바로 회문이다. 숫자 중에서도 바로 읽으나 거꾸로 읽으나 같은 숫자가 되는 것이 있다. 이것을 '대칭수(對稱數)'라고 하는데, 이를테면 1111, 12021, 246575642 등이다. 대부분의 수들은 그 수를 거꾸로 하여 더.. 2014. 12. 10.
마방진(魔方陣, Magic Square) 마방진(魔方陣)은 지금으로부터 4,200년 전 중국 하(夏)나라의 우왕(禹王) 시대의 전설에서 탄생됐다. 우왕은 잦은 홍수로 황하(黃河)가 범람할 때마다 황하의 지류인 낙수(洛水)도 함께 범람하는 것을 막기 위해 공사를 하고 있었다. 그러던 어느 해에 강의 한가운데서 큰 거북이 나타나서 잡았는데, 이 거북의 등에 신비한 점 무늬가 새겨져 있었다고 한다. 이상하게 여긴 우왕이 이 거북의 등에 새겨진 무늬에 대해 알아보게 하였는데 당시 사람들은 그 무늬를 하늘이 보내준 것으로 믿고 귀하게 여겨 '낙수에서 얻은 글'이라는 뜻으로 '낙서(洛書)'라고 이름 지었다. 거북의 등에 새겨진 그림은 1부터 9까지의 자연수를 점의 개수로 나타낸 것이고 가로, 세로, 대각선 각각의 숫자의 합이 모두 15이다. 이 수표는 네.. 2014. 12. 9.