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정신체조수학243

천재일우(千載一遇)와 확률 동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특히 그는 이라는 것을 썼는데, 이 책은 에 실려 있는 건국 명신 20명을 찬양하는 시와 서문을 쓴 글이다. 원굉은 그 중 위나라의 순문약(筍文若)을 찬양한 다음과 같은 글을 적고 있다. 여전히 백락(伯樂)을 만나지 못했다면 천년이 지나도 천리마는 없으리라. 만년에 한 번 기회가 오는 것은 인생의 일반적인 법칙이며, 천 년에 한 번 만나는(千載一遇) 것은 현자와 지혜로운 자의 아름다운 만남이다. 그 만남에는 기쁨이 없을 수 없는 것인데, 그 기회를 잃는다면 어찌 개탄치 아니하리오. 순문약은 삼국시대에 조조의 참모로 활약했으나 조조에게 역심이 있음을 알고 반대하다가 배척당한 강직한 인물이었고, 백락은 .. 2014. 6. 5.
이차방정식의 근의 공식 우리 나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등연구소에서 실시된 수학논문 발표회에 참석하였다. 논문 발표내용에 이차방정식의 답이 필요하자 발표자는 우리 나라 중학생들도 잘 아는 ‘근의 공식’에 대입하지 않고 일일이 귀찮은 완전 제곱의 방식으로 문제를 풀었다. 이를 보고 의아하게 생각한 그가 발표가 끝난 후에 개인적으로 물어 보았다고 한다. “교수님은 이차방정식의 답을 구하는데 간단한 근의 공식에 대입하지 않고 왜 일일이 완전제곱의 방식으로 푸시나요?” 그러자 그 교수가 대답하기를 “아니, 그 어려운 공식을 어떻게 외우는가?”하고 도리어 묻더라고. 외워서 하는 수학공부는 곧 한계에 도달한다. 의미도 잘 모른 채 외운 이차방정식의 근의 공식은 계수의 범위에 조금만 변화를 줘도 난관에 .. 2014. 5. 26.
7×9=? 어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다. 그러나 갑자기 7×9가 생각나지 않아 학생들에게 값이 얼마냐고 물었다. 그러자 한 학생이 장난삼아 ‘61’이라고 대답하자 그는 ‘61’이라고 칠판에 적었다. 그러자 다른 학생이 놀린다고 ‘아녀요 69예요’라고 하자 그 수학자는 "답이 어떻게 두 개가 될 수 있느냐"면서 생각에 잠기더니 혼자 중얼거렸다. ‘7곱하기 10은 70이니 70보다는 작을 것이나 61과 67은 소수이니까 답이 될 수가 없고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수이므로 62, 64, 66, 68도 아니고, 65는 5의 배수이므로 답이 아니고, 69는 너무 크므로 답이 아니고, 63만 남으니 63이 답이야’ 라면서 칠판의 숫자를 정정했다. 2014. 5. 26.
유연한 사고 기르기 1000에서 743을 빼면? 999에서 743을 빼고 1을 더하는게 빠르다. 고정된 사고를 벗어나자, 사고는 유연하게. 2014. 5. 26.
무한수열의 조합, 바둑 바둑은 간단히 말하면 바둑판 위에서 벌이는 생존경쟁 게임이다. 정사각형 모양의 바둑판은 가로와 세로가 각각 19줄로 되어 있으며 이들이 겹치는 점이 361점이다. 흑돌과 백돌로 편을 나누어 361점 위의 적당한 지점에 서로 번갈아 한 번씩 돌을 놓아 진을 치며 싸운 후, 차지한 점(집)이 많고 적음으로 승부를 가린다. 바둑은 그 수가 깊고 오묘하며 어디에 먼저 놓느냐에 따라 전혀 다른 싸움이 전개된다. 또한 선택할 수 있는 가짓수가 너무 많기 때문에 일설에 의하면 바둑이 생긴 이후에 똑같은 판은 지금까지 없었다고 한다. 실제로 바둑판에 바둑돌을 놓을 수 있는 가짓수는 모두 361!이다. 그렇다면 361!은 어떻게 계산하는 것일까? 어떤 자연수 n에 대하여, 1부터 n까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 n의.. 2014. 4. 22.
비트코인의 암호화 원리 ◆ 비트코인은 2009년에 ‘나가모토 사토시’라는 익명의 프로그래머에 의하여 개발된 가상의 화폐이자 이 화폐가 작동하는 방식이다. 쉽게 말해 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’와 같이 실제 돈은 아니지만 물건을 사거나 서비스 이용료를 결제할 수 있는 돈이다. 그런데 이런 돈과 비트코인의 가장 큰 차이점은 발행처이다. 현실세계에서 사용하는 실물화폐는 화폐의 거래를 담당하고 통화량을 조절하는 은행이 있다. 이를테면 우리나라의 경우 한국은행이 그런 은행이다. 또 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’ 등도 발행하는 곳과 사용하는 곳이 분명하다. 그러나 비트코인은 사용처는 있으나 발행처나 통화량을 조절하는 관리기관이 없다. 즉, 비트코인은 누구나 발행할 수 있고 누구나 사.. 2014. 2. 17.
문제풀이와 증명의 통쾌함과 즐거움 ◆ '불가능함'과 '존재하지 않음'을 증명하는 데에 순수 수학은 많은 관심을 기울입니다. 예컨대 "√2는 유리수가 아니다"라는 명제가 있지요. '유리수 표현이 존재하지 않음'을 증명하는 문제인데, 이런 부정적인(negative) 결과는 어디에 써먹을 수 있는 게 아니잖아요. 현실에선 쓸모가 없지만 수학자한테는 매우 중요한 문제입니다. 사실 고대 그리스 수학에서 성취한 가장 중요한 명제를 꼽으라면 바로 이것이었습니다. 이렇게 수학에서 '불가능함', '존재하지 않음' 같은 부정적인 논증은 훨씬 더 큰 깊이를 지니고 있습니다. ◆ 증명 과정에서 수학자들은 어떤 통쾌함을 느낍니다. 무엇이 존재한다는 전제에서 출발해 결국엔 그런 전제가 모순임을 보임으로써 결국에 존재하지 않음이나 불가능성을 증명해내면, 마치 지저.. 2014. 2. 11.
2014년은 갑오년, 이름은 어떻게 정할까? 2013년은 계사년(癸巳年)이었고 올해 2014년은 갑오년(甲午年)으로 불린다. 올해는 말의 해, 특히 ‘청마(靑馬)의 해’라고 한다. 매년 바뀌는 한 해의 이름들은 어떤 원리로 지어지는 걸까? 올해가 말의 해인 것처럼 매년 한 해를 책임질 동물이 정해진다. 사람의 띠를 나타내는 12 동물인 자(子, 쥐), 축(丑, 소), 인(寅, 호랑이), 묘(卯, 토끼), 진(辰, 용), 사(巳, 뱀), 오(午, 말), 미(未, 양), 신(申, 원숭이), 유(酉, 닭), 술(戌, 개), 해(亥, 돼지)를 땅에 사는 인간을 이롭게 한다하여 지지(地支)라고 한다. 또 하늘의 운행을 나타내는 10개의 갑(甲), 을(乙), 병(丙), 정(丁), 무(戊), 기(己), 경(庚), 신(辛), 임(壬), 계(癸)를 천간(天干)이라.. 2014. 1. 23.
That's Real Life 2013. 12. 17.
고교 수학 새 교육 과정(2014년 고1 적용) 2014년 고1부터 적용되는 고교 수학 새 교육과정을 한 눈에 알아보기 쉽도록 정리해 보았습니다. 이미지를 클릭하시면 좀더 선명하게 보실 수 있습니다. 참고하시어 학습 계획 세우는 데 모쪼록 도움이 되길 바랍니다. Excel로 제작한 것인데 혹시 원본 파일이 필요하신 분은 댓글로 이메일주소 남겨주시면 보내드리겠습니다. 2013. 12. 12.
13일의 금요일 13일의 금요일은 어떤 해에는 세 번도 있지만 대체로 1년에 두 번 정도 돌아온다. 그런데 13일의 금요일은 왜 불길하게 여겨지기 시작한 것일까? 성경에 따르면 예수는 로마 군대에 체포되기 전 12명의 제자와 함께 최후의 만찬을 들었는데 예수 포함, 총 13인이 만찬을 가진 셈이다. 만찬 후 열두 제자 중 유다의 배신으로 예수는 십자가에 처형을 당하게 된다. 이는 13이란 숫자에 배신과 불길함이 담겨 있다는 생각으로 연결됐다. 또 골고다 언덕에서 예수가 처형된 요일이 마침 금요일이었다고 한다. 그러니 성경이 중요한 생활규율로 자리했던 서구 사회에서 13일의 금요일이 불길한 날로 전해지는 것은 어쩌면 당연하다. 13일의 금요일은 악마가 씐 날이라 주장하는 이들도 있다. 기독교적 시각으로 유독 불행한 사건들.. 2013. 9. 14.
자연 속의 중간값의 정리 자연 현상이나 일상생활에는 연속인 함수로 표현할 수 있는 것들이 많이 있다. 기온이나 물체의 속도는 시간에 따라 연속적으로 변하므로 닫힌 구간에서 연속인 함수로 나타낼 수 있으며 그 함수에 대하여 중간값의 정리가 성립한다. 북극과 남극의 기온은 영하의 낮은 온도이고 적도 부근의 기온은 영상의 높은 온도이다. 그러므로 알래스카 위쪽의 북극으로부터 태평양 연안의 해안선을 따라 칠레 아래쪽의 남극까지 이동하면 기온은 영하에서 시작하여 영상으로, 그리고 다시 영하로 연속적으로 변하게 된다. 따라서 중간값의 정리를 이용하면 북아메리카 해안과 남아메리카 해안에는 서로 기온이 같은 지점이 반드시 존재함을 알 수 있다. 또한 한라산의 북쪽 사면과 남쪽 사면에는 서로 기온이 같은 지점이 반드시 존재하게 되고, 양쪽 면의.. 2013. 6. 16.
무리수 e의 다양한 표현 극한을 이용하여 을 무리수 로 정의한다.여기서는 오일러(Euler, L. ; 1707~1783)가 사용한 방법을 알아보자.그는 무한급수와 무한연분수를 사용하여 무리수 를 표현하였다. (1) 무리수 를 무한급수로 표현 (2) 무리수 를 무한연분수로 표현는 무리수이기 때문에 소수로 나타내면 어떠한 규칙성도 찾아볼 수 없다. 그런데 아래와 같이 무한연분수를 사용하면, 를 다음과 같이 규칙적으로 나타낼 수 있다. 위의 두 번째 연분수는 다음과 같이 분자를 제외하고 간단히 나타내기도 한다. 2013. 4. 30.
푸리에 급수 1822년 프랑스의 수학자 푸리에(Fourier, J. B. J. ; 1768~1830)는 세상의 어떤 복잡한 움직임이나 운동이라도 그것이 주기적이라면 삼각함수인 사인함수와 코사인함수로 이루어진 급수로 표현할 수 있다는 사실을 발견하였다. 예를 들어 어떤 주기적인 파형이 다음 그림과 같을 때, 이것은 간단히 사인함수와 코사인함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 임의의 복합 파동을 단순 파동들의 합성으로 분석할 수 있다는 것을 뜻한다. 이러한 푸리에 급수의 원리는 복잡한 것을 간단한 요소로 분해하고 그것을 재구성하는 방식이라고 볼 수 있다. 좀 더 수학적으로 나타내면, 다음과 같은 식이 성립된다. 흔히 푸리에 급수의 예로 바이올린 소리의 파동을 이야기하는 경우가 있다. 바이올린 소리의 파동은 복잡한 파형을.. 2013. 4. 30.
Q.E.D. Q.E.D.는 라틴어 문장 "Quod erat demonstrandum"의 약자이다. 이것은 유클리드와 아르키메데스가 자주 쓰던 그리스어 문장 "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" (hóper édei deĩxai)를 라틴어로 옮긴 것으로, 직역하면 "이것이 보여져야 할 것이었다"가 된다. 이 약자는 수학에서 증명을 마칠 때 자주 사용한다. 현재는 증명의 마지막에 ■ (검은 네모 상자)를 붙인다. □ (흰 네모 상자)를 사용하는 경우도 있다. 유니코드 문자 중에는 "증명 종료" 문자로 ■ (U+220E)가 있다. 하지만 검은 네모 상자 ■ (U+25A0)와 ▶ (U+2023)으로도 사용할 수 있다. 영어권에서는 Q.E.D.를 "Quite Easily Done", "Quite Eloquently Done", .. 2013. 4. 9.
4차원 공간 차원은 각각의 공간 속에서 점을 독립적으로 지정하는 데 필요한 좌표의 수를 지칭하는 개념이다. 직선 위의 점은 기준점을 설정하고 한 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로, 직선은 1차원 공간이다. 좌표평면은 그 위의 점을 두 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로 2차원 공간이다. 교과서에서 공부한 좌표공간은 그 위의 점을 세 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로 3차원 공간이다. 이와 같은 생각을 확장하여 일반적인 n차원 좌표공간을 와 같이 나타낼 수 있다. 3차원 공간의 세 좌표축에 모두 수직인 제4의 좌표축을 갖는 공간이 4차원 공간이다. 4차원 공간은 실재하지 않는 추상적 공간으로 여겨지기도 하지만, 물리학이나 우주론의 이론을 설명하는 데 사용된다. 아인슈타인(Einstein,.. 2013. 3. 25.
비트맵 형식과 벡터 형식 이미지 파일은 저장 방식에 따라 비트맵 형식과 벡터 형식으로 나누어진다. 비트맵 형식은 그림을 점의 집합으로 인식하여, 여러 개의 점(픽셀)으로 이미지를 표현하는 방식이다. 정사각형 모양의 작은 점들이 모여서 이미지를 구성하는 비트맵 형식은 다양한 질감과 사실적 효과의 연출이 가능하지만, 파일의 크기를 변화시키면 이미지가 손상될 수 있다. 특히 그림을 확대했을 때 화질이 떨어져 직선이 마치 계단처럼 보이는 현상이 생길 수 있다. 일정한 영역에 있는 점의 수가 많을수록 고해상도이며, 해상도가 높을수록 이미지는 더욱 정교하고 부드러워진다. 벡터 형식은 화면에 점을 찍어 그림을 그리는 비트맵 형식과는 달리, 직선과 곡선을 수학적으로 표현하여 이미지를 구성한다. 따라서 벡터 형식은 비트맵 형식에 비하여 적은 용.. 2013. 3. 25.
사이클로이드 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 축을 따라 미끄러지지 않도록 굴릴 때 원 위의 점 가 그리는 점의 자취를 사이클로이드라고 한다. 반지름의 길이가 인 원 위의 점 가 원점에서 출발하여 각 만큼 회전했을 때의 위치는 로 나타난다. 위의 그림에서 아치 한 개의 곡선의 길이는 적분을 이용하여 구할 수 있다. 사이클로이드 위의 어떤 점에서 출발하더라도 정점에 이르는 시간이 같다. 위의 [그림 1]과 같은 사이클로이드 미끄럼틀을 타는 세 어린이 A, B, C는 같은 시각에 출발하면 바닥에 도착하는 시간이 같다.사이클로이드는 출발점에서 도착점으로 가는 가장 빠른 경로이다. 위의 [그림 2]에서 직선과 사이클로이드 중 어느 경로 위의 공이 바닥에 먼저 도착할까? 바로 사이클로이드이다. 사이클로이드는 초기에 .. 2013. 3. 17.
컴퓨터 단층 촬영 장치 교통사고 등으로 머리를 강하게 부딪쳤을 때에는 상태를 신중히 살펴봐야 한다. 외상이 거의 없어 보여도 내출혈이 있을 수 있기 때문이다. 이때 머리의 내부 상황을 알아보기 위해 사용하는 것이 ‘(컴퓨터 단층 촬영 장치) 스캔’이다. 스캔 촬영은 선 등을 이용해 머리의 내부를 둥글게 자른 형태로 계속 찍어 나간다. 보통 우리는 그 사진 중 한 장을 보는 정도이지만, 이 둥글게 자른 사진을 여러 장 종합하면 머리 내부를 입체적으로 볼 수 있다. 스캔을 이용해 머리 각 부분의 사진을 찍은 다음 그것을 다시 종합해 전체를 보는 것은 적분의 아이디어와 유사하다. 특히 얇게 잘라서 더하는 방법은 입체도형의 부피를 계산할 때 사용하는 적분의 가장 보편적인 아이디어이다. 이처럼 의학이나 공학의 첨단 기술에서도 적분의 아.. 2013. 3. 17.
생활 속의 미분적 사고 변화를 연구하는 미분학에서는 미분적 사고를 필요로 한다. 아래의 그림과 같이 곡선 의 아주 작은 부분만을 따로 떼어 직선으로 생각하는 것은 미분적 사고의 한 예이다. 우리 생활 전반에 걸쳐 찾을 수 있는 미분적 사고를 살펴보자. 1. 박물관의 토기 박물관에 진열되어 있는 토기는 멋진 곡면이지만 토기를 발굴할 당시에는 모두 조각나 있었을 것이다. 이 작은 조각은 곡면의 일부이지만 거의 평평하다. 2. 지구 표면 인공위성에서 찍은 사진을 보면 알 수 있듯이 ‘지구는 둥글다.’는 것은 사실이다. 하지만 ‘내가 서 있는 부근’만을 생각하면 평평하다. 3. 컴퓨터 단층 촬영 병원에서 사용하는 컴퓨터 단층 촬영(CT)은 사람의 몸의 내부를 얇게 자른 형태로 계속하여 사진을 찍어나간 후 그중에서 필요한 부분의 사진을.. 2013. 3. 4.
아르키메데스의 발명품 포물선의 축에 평행하게 입사한 광선은 반사하여 포물선의 초점을 지나간다는 성질을 처음으로 이용한 사람은 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~ B.C.212)라고 한다. 아르키메데스는 수학과 물리학을 이용하여 많은 발명품을 만들었다. 당시 아르키메데스의 고국인 시라쿠사는 로마에 끝까지 대항하였다. 이때 아르키메데스는 새로운 무기를 발명하여 수적인 열세를 극복하고 전투를 승리로 이끌기도 하였다. 아르키메데스가 개발한 무기 가운데 하나는 대형 거울이었다. 포물면 모양으로 만들어진 이 대형 거울로 태양 빛을 모아 바다에 떠 있던 로마군의 배를 불태웠다고 전해져 내려온다. 아르키메데스가 이용한 포물선의 광학적 성질은 오늘날 태양열 발전이나 파라볼라 안테나 제작에 이용되고 있다. 포물면 거울을 이용하.. 2013. 3. 4.
마리엔바트 놀이 레스토랑에서 주문한 음식이 바로 나오지 않고 시간이 걸릴 때, 우리는 이따금 따분함을 느낀다. 특히 자기와 마주 앉아 있는 사람이 재미난 이야깃거리를 전혀 가지고 있지 않을 때는 더욱 그러하다. 바로 그러한 때에 식당 종업원이 음식을 가져다주기를 기다리면서 심심풀이로 할 수 있는 간단한 놀이가 있다. 바로 마리엔바트[각주:1]의 게임에서 유래한 놀이이다. 성냥개비나 궐련이나 이쑤시개 따위를 식탁 위에 다음과 같이 옆으로 늘어놓는다. 각자 번갈아 가면서 자기가 원하는 만큼 성냥개비를 집어 가되, 반드시 한 줄에서만 집어 가야 한다. 상대에게 마지막 하나 남은 성냥개비를 가져가게 하면 이기는 것이다. 더보기 상대에게 두 줄의 성냥개비를 남겨 주되, 아래의 예와 같이 양 쪽의 개수가 똑같이 되도록 만들어 놓는.. 2013. 2. 25.
영(0)이라는 수 영은 기원전 2세기 중국의 산술이나(점으로 표시) 그보다 훨씬 앞서 마야인들의 문명에서(나선으로 표시) 그 자취를 찾아볼 수 있다. 하지만, 우리가 사용하는 영은 인도에서 유래한 것이다. 7세기에 페르시아인들은 인도인들의 영을 모방했다. 몇 세기 후에 아라비아인들이 페르시아인들로부터 그 수를 빌려 왔고 그것에 우리가 알고 있는 이름을 붙였다(아라비아 말로 시파는 을 뜻한다). 유럽에는 13세기가 되어서야 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치의 소개로 영의 개념이 도입되었다. 피보나치(필리오 디 보나치를 줄여 부르는 것일 가능성이 많다)는 피사의 레오나르도라고도 불렸는데, 그 별명과는 달리 베네치아의 상인이었다. 그는 동시대 사람들에게 영의 개념이 얼마나 유익한지를 설명하려고 애썼다. 그러나 사람들은 그의.. 2013. 2. 22.
심리 역이용 게임 수학자 호프스태터는 그의 저서 『괴델, 에스허르, 바흐』에서 매우 흥미로운 게임 하나를 소개하고 있다. 두 사람이 노는 게임으로 그 어떤 카드도 말도 필요 없고, 오직 두 개의 손만 있으면 되는 게임이다. 신호와 함께 두 참가자는 각자 손을 내밀고, 1에서 5까지의 수 중 하나를 손가락으로 표시한다. 이때 더 높은 수를 낸 사람이 두 사람이 낸 수의 차이만큼을 점수로 얻는다. 예를 들어 한 사람이 5를 내고, 한 사람이 3을 냈다면, 5를 낸 사람이 5-3, 즉 2점을 획득한다. 그렇게 해서 얻은 점수를 0점부터 더해 나간다. 그렇다면 언제든 5만 내면 될 것 아닌가? ......하지만 이 첫 번째 규칙을 보충하는 두 번째 규칙이 있다. 두 사람 사이의 차이가 1점이 되는 경우, 작은 수를 낸 사람이 두.. 2013. 1. 31.
수학사를 활용한 교재연구 - 가타노 젠이치로 ◆ 기능훈련적인 지도는 수학을 싫어하는 원인도 된다. 아집이 있는 학생들은 왜 이런 틀에 박힌 재미없는 연습을 해야 하는지 의문을 가져버려서 수학을 싫어하게 되는 것이다. 중학교에서 가르칠 때, 이차방정식의 해를 구하는 공식을 가르쳐주고 연습문제를 풀라고 하면, 학생 중에는 문제를 풀지 않고 노는 학생도 있다. "왜 안하니?"라고 물으면, 숫자를 공식에 대입하면 답이 나온다는 것을 알고 있기 때문에 할 필요가 없다고 답한다. 그는 성적이 좋은 학생이었다. 이러한 연습만 반복한다면, 수학에서는 모든 것이 결정적으로 분명하여 더 이상 새로운 사고가 들어갈 여지가 없는 것은 아닐까 하는 생각마저도 하게 된다. 그렇게 된다면 과학교육은 완전히 실패이다. ◆ 학생에게 요구되는 수학적 자질은 단순히 수학의 지식이나.. 2012. 12. 14.
원주율의 계산 는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이에 비례하며, 이때의 비례상수, 즉를 원주율이라고 한다. 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다. 그는 원에 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정12각형, 정24각형, 정48각형을 그리고, 마침내 정96각형까지 같은 방법으로 그려냈다. 원의 둘레의 길이가 내접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 크고, .. 2012. 11. 13.
아주 큰 소수를 찾아라 컴퓨터를 이용하여 97이 소수인지 합성수인지를 알아내기 위해서 다음 그림과 같은 순서도를 이용할 수 있다. 그러나 아주 큰 자연수 N이 소수인지를 알아내기 위해 이와 같은 알고리즘을 이용하면 컴퓨터를 이용하더라도 많은 시간이 걸린다. 하지만, 컴퓨터에 소수 2, 3, 5, 7, 11, … 등의 목록을 저장해 두고 있다면, 다음과 같은 수학적 사실을 이용하여 계산 시간을 크게 단축시킬 수 있다. "자연수 N이 이하의 모든 소수로 나누어 떨어지지 않으면 N은 소수이다." 예를 들어, 이므로 9 이하의 소수 2, 3, 5, 7만 생각하면 된다. 즉, 97은 2, 3, 5, 7로 모두 나누어 떨어지지 않으므로 97은 소수이다. 이와 같은 방법으로 100 이하의 소수 2, 3, 5, …, 97만으로 10000 이.. 2012. 11. 13.
체스에 얽힌 등비수열 인도의 수학자 세타는 재미있는 놀이를 만들어 달라는 왕자의 부탁으로 체스라는 서양 장기를 만들었다. 왕자는 재미있는 놀이를 할 수 있게 해 준 세타에게 상을 내리고 싶어 원하는 것은 무엇이든 들어주겠다고 약속했다. 세타는 64개의 칸으로 되어 있는 체스판의 첫 번째 칸에는 수수 한 알, 두 번째 칸에는 수수 두 알, 세 번째 칸에는 수수 네 알, 네 번째 칸에는 숫 여섯 알과 같이 그 앞 칸에 놓인 수수알의 두 배를 채워 달라고 하였다. 왕자는 대수롭지 않게 세타의 제안을 받아들였다. 그런데 체스판을 이와 같이 수수알로 채운다면 18,446,744,073,709,551,615알(1844경 6744조 737억 955만 1615알)이라는 것을 알고 매우 놀랐다. 왜냐하면 이 수수의 양은 지구상에서 생산되는 .. 2012. 11. 8.
쾨니히스베르크의 다리와 일필휘지(一筆揮之) 프로이센의 소도시 쾨니히스베르크(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명하다. 칸트는 매일 같은 시간에 산책을 하여 사람들이 그가 산책하는 것을 보고 시계를 맞추었다는 일화가 전해 오는 곳이다. 이 도시는 수학과 관련해서도 기념비적인 곳이다. 쾨니히스베르크 도시를 관통하는 프레겔 강에는 2개의 섬이 있고 이들 섬과 육지는 7개의 다리로 연결되어 있다. 당시 사람들은 '같은 다리를 두 번 건너지 않고, 모든 다리를 건널 수 있을까?'하는 문제를 생각했는데 이를 '쾨니히스베르크의 다리 문제'라고 한다. 쾨니히스베르크의 다리 문제는 연필을 떼지 않고 한 번에 그리는 한붓그리기, 곧 '일필휘지(一筆揮之)'가 가능한가의 문제라고도 할 수 있다. 쾨니히스베르크의 다리 문제를 해결하기 위해 여.. 2012. 11. 3.
자동차의 경제속도는? 자동차에 쓰이는 연료는 자동차를 움직이는 데 꼭 필요한 것이지만 그 배출 가스는 환경 오염의 원인이 되고 있다. 따라서 환경 오염을 줄이기 위해서는 연료를 될 수 있는 대로 적게 소모해야 한다. 연료를 절감하는 방법 중의 하나로 경제속도가 있다. 이는 가장 적은 연료로 가장 먼 거리를 달릴 수 있는 속도를 뜻한다. 경제속도를 구하는 방법을 알아보자. 아래의 그래프는 어떤 자동차의 속도에 따른 시간당 연료 소모량을 나타낸 것이다. 자동차는 시동을 건 상태로 정지해 있는 경우에도 연료가 소모된다. 자동차가 움직이기 시작하면 시간당 연료 소모량은 감소하는데, 그래프에서 보는 것처럼 시속 60km 정도에서 시간당 연료 소모량이 최소가 된다. 이 자동차의 연비( km/L)는 언뜻 보기에 이때가 최대인 것처럼 보이.. 2012. 11. 2.

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