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정신체조수학219

대규모 시험에서의 표준 점수 우리나라의 대학 수학 능력 시험이나 미국의 SAT 등과 같이 수험생이 많고, 과목 수도 여러 가지인 경우에는 항상 과목별 난이도의 차이로 인한 문제가 생긴다. 예를 들어 어떤 학생의 국어 점수가 80점, 수학 점수가 75점일 때, 80과 75의 단순 비교만으로는 국어 성적이 좋은지, 수학 성적이 좋은지 알 수 없다. 특히 선택 과목의 경우 선택에 따른 유리함 또는 불리함을 없애고 각 과목 사이의 난이도 조정을 위해서 표준 점수의 도입이 필수적이다. 표준 점수는 전체 응시자의 과목별 평균 점수와 표준편차를 이용하여 각 학생의 과목별 점수가 과목별 전체 평균 점수보다 얼마나 높은지 혹은 얼마나 낮은지를 비교하는 것이다. 표준 점수 중에서 T 점수는 전체 평균이 50점, 표준편차가 10점이 되도록 변환한 것이.. 2014. 11. 28.
던바의 수(Dunbar's number) '던바의 숫자'(Dunbar's number)라는 게 있다. 한 사람이 안정적으로 상호 관계를 유지해 나갈 수 있는 사람의 숫자를 가리키는 말이다. 이를테면 안정적으로 교류할 수 있는 친구 수의 상한을 말하는 것인데, 애초 영국 인류학자 로빈 던바(Robin Dunbar)가 주장한 개념이라 해서 '던바의 수'라는 이름이 붙었다.그는 1992년 각종 문헌들을 조사한 결과를 토대로, 그 크기가 100명에서 230명 사이라고 주장하고 그 중간 정도인 150을 일반적인 값으로 제안했다. 그는 150이라는 수에 포함되는 사람들을 "초대받지 않은 술자리에서 우연히 동석해도 당혹스러워하지 않을 정도의 사람"이라고 설명했다.던바 교수의 이론은 인간의 뇌는 용량이 정해져 있어서 일정한 관계 이상을 관리할 수 없다는 인지.. 2014. 11. 13.
다기망양(多岐亡羊)과 미로 미로라고 하면 종이 위에 그려진 퍼즐이나 어린이 공원 같은 데 있는 미로를 생각하겠지만, 미로는 인간의 실생활에서도 쉽게 볼 수 있다. 미로가 실생활에 사용된 실제적인 예는 고대 이집트의 피라미드에서 찾아볼 수 있다. 피라미드 속에는 죽은 왕과 함께 갖가지 보물들을 넣어 두었는데, 그 보물들을 도적이 훔쳐가지 못하도록 하기 위해 미로를 만들었다. 모험 영화인 ‘인디애나 존스’, ‘미이라’, ‘해리포터’에서도 미로를 헤매고 다니는 주인공들을 흔히 볼 수 있다. 이 밖에도 유럽에서는 궁전의 안뜰에 미로를 만들어 공격해 온 적을 안으로 유인해 전멸시켰다는 전설도 있다. 영국의 브라이트라는 사람은 라는 책을 쓰고, 1971년에는 1.6km이상 되는 미로 정원을 만들었다고 한다. 그 후, 그는 런던의 서쪽 롤리트.. 2014. 10. 20.
넓이와 부정적분 사이의 관계 함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까? 수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다. 배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다. 다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자. 여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다. 이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기 즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다. 따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에.. 2014. 9. 5.
적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. 또, 그리스의 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)는 포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(method of exhaustion)으로 구하는 방법을 제시하였다.그는 아래의 그림과 같이 선분 AB와 평행한 포물선 위의 접선의 접점을 C라고 할 때, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 △ABC의 넓이의 4/3배가 됨을 보였다. 17세기의 .. 2014. 9. 2.
콘웨이 수열 다음의 수열은 유명한 프린스턴 대학교의 수학자를 기념하는 의미에서 콘웨이(John H. Conway) 수열로 잘 알려진 수열이다. 이 수열의 다음에 나오게 될 항은 무엇인가? 1, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 3, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 8, 1, 3, 3, 2, 4, 1, 6, ? 1부터 시작해 보자. 한 개의 1 또는 "1" 1 하는 식으로 본 것을 세면 된다. 이를 수열에 추가한다. 그러면 다음을 얻는다. 1,1,1. 다시 한 번 세어 보자. 이번에는 "세 개의" 1이 된다. 3,1을 수열에 추가하여 다음을 얻는다. 1,1,1,3,1. 이번에는 "네 개의" 1과 "한 개의" 3이 보인다. 이들을 수열에 추가하면 다음을 얻는다. 1,1,1,3,1,4,1,1,3. 이번에는 "여섯 개의.. 2014. 8. 18.
동전 옮기기 게임 그림과 같이 인접한 여덟 개의 정사각형으로 이루어진 판을 가지고 게임을 한다. 처음에 세 개의 동전이 그림과 같이 놓여 있다. 규칙은 한 개의 동전을 왼쪽으로 한 칸씩 옮기는 것이다. 각각의 동전은 다른 동전의 위 또는 아래에 겹칠 수 있다. 목표는 모든 동전을 가장 왼쪽 끝으로 옮기는 것이다. 마지막으로 동전을 옮기는 사람이 이긴다고 할 때, 먼저 시작하는 사람이 이 게임에서 이기기 위한 전략은 무엇인가? 동전은 단지 왼쪽으로만 옮길 수 있고 오른쪽으로 결코 옮기지 못함을 주목하자. 왼쪽에 있는 동전부터 차례로 1번, 2번, 3번이라 하자. 게임을 한 번 할 때마다 1번 동전은 모두 세 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. 2번 동전은 모두 다섯 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. .. 2014. 8. 16.
칩 가져가기 두 사람이 게임을 하고 있다. 이들은 칩 30개를 쌓아놓고 한 번에 1~6개의 칩을 가져갈 수 있다. 마지막 칩을 가져가는 사람이 게임에서 이긴다고 할 때, 먼저 시작한 사람이 항상 이길 수 있는 전략은 무엇일까? 먼저 가져가는 사람을 A, 두 번째로 가져가는 사람을 B라 하자. A가 확실히 이 게임에서 이길 수 있는 전략을 생각한다. 아이디어는 거꾸로 이 게임을 진행해 보는 것이다. 분명히 A는 마지막 자신의 차례에서 6개 이하의 칩이 남아 있기를 원한다. 그러면 남아 있는 칩들을 모두 가져오면서 게임에서 이길 수 있기 때문이다. 따라서 이보다 앞선 B의 차례에서는, B가 가져간 후에 A가 6개 이하의 칩을 가져갈 수 있는 만큼의 칩이 남아야만 한다. 가령 B의 차례에서 8개의 칩이 남아 있다고 하면,.. 2014. 8. 16.
결혼 문제 한 청년이 성년이 되었다. 그의 목표는 결혼하는 것이었다. 신부감을 찾기 위해 최대 100명의 여자와 데이트를 하기로 결심하였다. 여자와 잠시 데이트를 한 후, 그녀와 결혼을 하든지 그녀를 거절하고 계속해서 다른 여자를 만나보아야 했다. 일단 한 여자를 거절하면 다시는 그 여자를 만날 수 없다. 결국 오직 한 여자만을 선택하여 결혼해야 한다. 이 문제에서 흥미로운 점은 이 청년이 이미 만났던 여자에 대해서는 뒤돌아 볼 수 없지만 앞으로 만날 여자에 대해서는 미리 볼 수 없다는 것이다. 언제든지 청년은 "지금 만나고 있는 여자는 더욱 매력적이야, 그리고 이전에 만났던 어느 여자보다도 나에게 어울리는 것 같아"라 말하면서 그녀와 결혼할 것을 결정할 수 있다. 하지만 청년은 "이 여자는 멋있어. 하지만 더욱 .. 2014. 8. 11.
37장의 편지 37장의 편지를 쓴 다음 37장의 봉투에 주소를 적는다고 가정하자. 눈을 감고 무작위로 편지를 각각의 봉투에 하나씩 집어넣을 때, 단 한 장의 봉투에만 편지가 잘못 들어갈 확률은 얼마인가? 각각의 편지와 봉투에 1~37까지의 번호가 매겨져 있다고 하자. 1~36번까지의 편지가 봉투에 제대로 들어가 있다면, 남아 있는 것은 37번 편지와 37번 봉투일 것이다. 따라서 마지막에 남은 편지는 봉투에 제대로 들어갈 수밖에 없다. 물론 여기서 사용된 번호 매김에는 특별한 것이 없다. 이는 단지 단 한 장의 편지만이 봉투에 잘못 들어가는 것은 불가능하다는 아주 간단한 사실만을 알려줄 뿐이다. 한 장의 편지가 봉투에 잘못 들어 있다면, 적어도 두 장의 편지는 봉투에 잘못 들어가는 것이 된다. 따라서 구하는 확률은 0.. 2014. 8. 6.
여섯 명 중 세 사람 방 안에 여섯 명이 있다고 하자. 이들 중 세 사람은 서로 알고 있거나, 아니면 서로 모르는 경우가 있는데 그 이유를 설명하라. 물론 A가 B를 알고 있다면 B도 역시 A를 알고 있는 것으로 가정한다. 이들 중 한 사람을 조라고 하자. 조는 나머지 다섯 명 중에서 세 명을 알고 있든지, 아니면 세 명을 전혀 모르든지 둘 중의 하나이다. 첫 번째의 경우를 생각해 보자. 가령 조가 실제로 해리, 메리, 래리를 알고 있다고 가정하자. 이들 중 어느 두 사람이 서로 알고 있다면(예를 들면, 해리가 래리를 알고 있다), {조, 해리, 래리}는 서로 알고 있는 사이가 된다. 대신에 어떤 두 사람도 서로 모르는 사이라면 {해리, 메리, 래리}는 서로를 모르는 사람들이다. 위의 문제는 다음과 같이 재해석할 수 있다. .. 2014. 8. 6.
짜장면과 종이접기 우리는 종종 어떤 것을 반으로 나누는 것을 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 자연수 중에서 1을 제외하고 가장 작은 수 2와 그것의 역수인 ‘반’, 즉 1/2의 위력은 우리가 생각하고 있는 것 이상으로 대단하다. 종이접기를 이용하여 반으로 나누는 것에 관하여 알아보자. 외국에서는 이 종이 반접기가 꾸준한 토론 거리가 될 만큼 관심을 받고 있다. 그리고 2001년 12월에 종이를 반으로 접는 문제를 ‘수학적으로’ 풀어낸 사람이 있었다. 당시 고등학생이었던 ‘브리트니 걸리반(Britney Gallivan)’이라는 여성은 종이를 반으로 접는 것에 관한 공식을 찾았을 뿐만 아니라 종이를 무려 12번 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다하더라도 8번 .. 2014. 7. 21.
천재일우(千載一遇)와 확률 동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특히 그는 이라는 것을 썼는데, 이 책은 에 실려 있는 건국 명신 20명을 찬양하는 시와 서문을 쓴 글이다. 원굉은 그 중 위나라의 순문약(筍文若)을 찬양한 다음과 같은 글을 적고 있다. 여전히 백락(伯樂)을 만나지 못했다면 천년이 지나도 천리마는 없으리라. 만년에 한 번 기회가 오는 것은 인생의 일반적인 법칙이며, 천 년에 한 번 만나는(千載一遇) 것은 현자와 지혜로운 자의 아름다운 만남이다. 그 만남에는 기쁨이 없을 수 없는 것인데, 그 기회를 잃는다면 어찌 개탄치 아니하리오. 순문약은 삼국시대에 조조의 참모로 활약했으나 조조에게 역심이 있음을 알고 반대하다가 배척당한 강직한 인물이었고, 백락은 .. 2014. 6. 5.
이차방정식의 근의 공식 우리 나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등연구소에서 실시된 수학논문 발표회에 참석하였다.논문 발표내용에 이차방정식의 답이 필요하자 발표자는 우리 나라 중학생들도 잘 아는 ‘근의 공식’에 대입하지 않고 일일이 귀찮은 완전 제곱의 방식으로 문제를 풀었다.이를 보고 의아하게 생각한 그가 발표가 끝난 후에 개인적으로 물어 보았다고 한다. “교수님은 이차방정식의 답을 구하는데 간단한 근의 공식에 대입하지 않고 왜 일일이 완전제곱의 방식으로 푸시나요?” 그러자 그 교수가 대답하기를 “아니, 그 어려운 공식을 어떻게 외우는가?”하고 도리어 묻더라고. 외워서 하는 수학공부는 곧 한계에 도달한다.의미도 잘 모른 채 외운 이차방정식의 근의 공식은 계수의 범위에 조금만 변화를 줘도 난관에 부딪힌.. 2014. 5. 26.
7×9=? 어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다.그러나 갑자기 7×9가 생각나지 않아 학생들에게 값이 얼마냐고 물었다.그러자 한 학생이 장난삼아 ‘61’이라고 대답하자 그는 ‘61’이라고 칠판에 적었다. 그러자 다른 학생이 놀린다고 ‘아녀요 69예요’라고 하자 그 수학자는 "답이 어떻게 두 개가 될 수 있느냐"면서 생각에 잠기더니 혼자 중얼거렸다. ‘7곱하기 10은 70이니 70보다는 작을 것이나 61과 67은 소수이니까 답이 될 수가 없고,홀수 곱하기 홀수는 홀수이므로 62, 64, 66, 68도 아니고,65는 5의 배수이므로 답이 아니고,69는 너무 크므로 답이 아니고,63만 남으니 63이 답이야’라면서 칠판의 숫자를 정정했다. 2014. 5. 26.
유연한 사고 기르기 1000에서 743을 빼면? 999에서 743을 빼고 1을 더하는게 빠르다. 고정된 사고를 벗어나자, 사고는 유연하게. 2014. 5. 26.
무한수열의 조합, 바둑 바둑은 간단히 말하면 바둑판 위에서 벌이는 생존경쟁 게임이다.정사각형 모양의 바둑판은 가로와 세로가 각각 19줄로 되어 있으며 이들이 겹치는 점이 361점이다.흑돌과 백돌로 편을 나누어 361점 위의 적당한 지점에 서로 번갈아 한 번씩 돌을 놓아 진을 치며 싸운 후, 차지한 점(집)이 많고 적음으로 승부를 가린다. 바둑은 그 수가 깊고 오묘하며 어디에 먼저 놓느냐에 따라 전혀 다른 싸움이 전개된다.또한 선택할 수 있는 가짓수가 너무 많기 때문에 일설에 의하면 바둑이 생긴 이후에 똑같은 판은 지금까지 없었다고 한다.실제로 바둑판에 바둑돌을 놓을 수 있는 가짓수는 모두 361!이다. 그렇다면 361!은 어떻게 계산하는 것일까? 어떤 자연수 n에 대하여, 1부터 n까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 n의 계승이.. 2014. 4. 22.
비트코인의 암호화 원리 ◆ 비트코인은 2009년에 ‘나가모토 사토시’라는 익명의 프로그래머에 의하여 개발된 가상의 화폐이자 이 화폐가 작동하는 방식이다. 쉽게 말해 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’와 같이 실제 돈은 아니지만 물건을 사거나 서비스 이용료를 결제할 수 있는 돈이다. 그런데 이런 돈과 비트코인의 가장 큰 차이점은 발행처이다. 현실세계에서 사용하는 실물화폐는 화폐의 거래를 담당하고 통화량을 조절하는 은행이 있다. 이를테면 우리나라의 경우 한국은행이 그런 은행이다. 또 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’ 등도 발행하는 곳과 사용하는 곳이 분명하다. 그러나 비트코인은 사용처는 있으나 발행처나 통화량을 조절하는 관리기관이 없다. 즉, 비트코인은 누구나 발행할 수 있고 누구나 사.. 2014. 2. 17.