유휘의 할원술

중국의 위나라 사람인 유휘(劉徽, ?~?)는 263년에 <구장산술(九章算術)>의 주석을 썼는데, 이 책의 제1권 '방전(方田)'의 제31번과 제32번의 문제에 대한 주석에서 원주율의 근삿값을 구하는 일반적인 방법을 제시하였다.

유휘가 <구장산술> 제1권 '방전' 제35, 36문의 활꼴 밭 문제에 대한 주석에서 제시했을 것이라고 청나라 산학자 대진(戴震, 1724~1777)이 추측한 그림

유휘는 원에 내접하는 정육각형의 변의 길이를 이용하여 그 원에 내접하는 정십이각형의 넓이를 구하고, 정십이각형의 변의 길이를 이용하여 정24각형의 넓이를 구하는 과정을 반복하여 정48각형, 정96각형, 정192각형의 넓이를 차례로 계산하였다.

그 방법은 다음과 같다.

위의 그림에서 원O의 반지름의 길이를 이라 하고, 는 정각형의 한 변으로 이라 하자. 이제 호AB의 이등분점 C를 정하면 이므로 정각형의 넓이는 이다.

또 다음이 성립한다.

(원의 넓이)

여기서 이다.

또 은 다음과 같이 나타내어진다.

이와 같은 방법으로 유휘가 계산한 원주율 의 근삿값은 다음과 같다.

원을 정다각형으로 세분하여 원의 넓이를 계산하였다는 점에서 이 방법을 나중에 '할원술(割圓術)'이라 불렀다. 이는 원에 내접하고 외접하는 정다각형을 이용하여 원주율을 계산한 아르키메데스의 방법과 비교되는데, 유휘도 무한 과정을 이해하고 있었음을 보여준다.

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