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연분수2

연분수를 이용한 증명 연분수란, 주어진 수를 '정수부분과 소수부분으로 나눈 뒤, 소수부분이이 아닐 경우 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나누는 과정'을 반복하여 얻는 식을 말한다.예를 들어, 유리수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 나타내자. 그럼이고 소수부분의 역수를 정수부분과 소수부분으로 나누면이고 소수부분이이므로를 연분수로 나타내면이 된다. 이와 같이 유리수를 연분수로 나타내는 과정에 등장하는 소수부분의 분모와 분자가 위의 과정을 거치면서 작아지기 때문에 어떤 유리수든지 위의 과정을 유한 번 적용하면 소수부분이 이 나오게 된다.하지만 가령를 연분수로 나타내어 보면이므로의 정수부분은이고 소수부분은이다. 소수부분 의 역수을 다시 정수부분과 소수부분으로 나누면이므.. 2015. 6. 30.
무리수 e의 다양한 표현 극한을 이용하여 을 무리수 로 정의한다.여기서는 오일러(Euler, L. ; 1707~1783)가 사용한 방법을 알아보자.그는 무한급수와 무한연분수를 사용하여 무리수 를 표현하였다. (1) 무리수 를 무한급수로 표현 (2) 무리수 를 무한연분수로 표현는 무리수이기 때문에 소수로 나타내면 어떠한 규칙성도 찾아볼 수 없다. 그런데 아래와 같이 무한연분수를 사용하면, 를 다음과 같이 규칙적으로 나타낼 수 있다. 위의 두 번째 연분수는 다음과 같이 분자를 제외하고 간단히 나타내기도 한다. 2013. 4. 30.